Question

如圖，△ABC中，∠C=90°，它的內(nèi)切圓O分別與邊AB、BC、CA相切于點(diǎn)D、E、F，且BD=12，AD=8，求⊙O的半徑r．

Answer 1

【答案】分析：首先連接OE，OF，易證得四邊形OECF是正方形，然后由切線長(zhǎng)定理可得AC=AF+FC=8+r，BC=BE+EC=12+r，AB=AD+BD=12+8=20，又由勾股定理可得方程20²=（12+r）²+（8+r）²，解此方程即可求得答案．
解答：解：連接OE，OF，
∵⊙O分別與邊AB、BC、CA相切于點(diǎn)D、E、F，
∴DE⊥BC，DF⊥AC，AF=AD=8，BE=BD=12，
∴∠OEC=∠OFC=90°，
∵∠C=90°，
∴四邊形OECF是矩形，
∵OE=OF，
∴四邊形OECF是正方形，
∴EC=FC=r，
∴AC=AF+FC=8+r，BC=BE+EC=12+r，AB=AD+BD=12+8=20，
在Rt△ABC中，AB²=BC²+AC²，
∴20²=（12+r）²+（8+r）²，
∴r²+20r-96=0，
即（r-4）（r+24）=0，
解得：r=4或r=-24（舍去）．
∴⊙O的半徑r為4．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．