Question

已知拋物線y=ax²-2ax+b與x軸交于點A（3，0），與y軸相交于點B（0，-

9

4

）
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，P為拋物線上的點，且在第二象限，若△POA的面積等于△POB的面積的2倍，求點P的坐標；
（3）如圖2，C為拋物線的頂點，在y軸上是否存在點D使△DAC為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的D點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把已知坐標代入拋物線求出a，b的值后易求拋物線的解析式．
（2）求出OA，OB的值后可求出S₁，S₂．根據題意求出點P的坐標．
（3）易求出C點的坐標，過點C作CE⊥y軸于點E，CG⊥x軸于點G，要使△ADC為直角三角形，可分三種情況討論（以AC為斜邊，則D在以AC為直徑的圓上，取AC的中點H，OE的中點F，連接HF；以CD為斜邊，過點A作AD₁⊥AC交y軸于點D₁；以AD為斜邊，過點C作CD₂⊥AC交y軸于點D₂），利用相似三角形的判定以及線段比求解．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²-2ax+b過A（3，0），B（0，-

9

4

），
∴0=9a-6a+b-

9

4

=b，
解得a=

3

4

，b=-

9

4

，
∴拋物線解析式為y=

3

4

x2-

3

2

x-

9

4

．

（2）（x_p，y_p），△PDA的面積為S₁，△POB的面積為S₂，
∵A（3，0），B（0，-

9

4

），
∴OA=3，OB=

9

4

，
∴S₁=

1

2

OA•|y_p|=

3

2

|y_p|，S₂=

1

2

OB•|x_p|=

9

8

|x_p|，3分
∵P點在第二象限，
∴S₁=

3

2

y_p，S₂=-

9

8

x_p，
∵S₁=2s₂
∴y_p=-

3

2

x_p，
∵點P在拋物線上，
∴y_p=

3

4

x_p²-

3

2

x_p-

9

4

，
-

3

2

x_p=

3

4

x_p²-

3

2

x_p-

9

4

，
解得，x_p=

3

（舍去），x_p=-

3

，
當x_p=-

3

時，y_P=

3

2

3

，
∴點P的坐標為（-

3

，

3 3

2

）．

（3）∵C為拋物線的頂點，
∴C點的坐標為（1，-3），過點C作CE⊥y軸于點E，CG⊥x軸于點G，則CE=1，CG=3，
要使△ADC為直角三角形，分三種情況討論：
①以AC為斜邊，則D在以AC為直徑的圓上，取AC的中點H，OE的中點F，連接HF，則HF為直角梯形OECA的中位線，HF=

1

2

（EC+OA）=2，即圓心H到y(tǒng)軸的距離為2，
在Rt△CGA中，
∵CG=3，AG=2，
∴AC=

13

，AH=

13

2

，
∵

13

2

＜2，
∴y軸與⊙H相離，
∴y軸上不存在符合條件的D點．
②以CD為斜邊，過點A作AD₁⊥AC交y軸于點D₁，
∵∠D₁AO+∠OAC=90°，∠GCA+∠GAC=90°，
∴∠D₁AO=∠ACG，
∵AO=CG，
∴Rt△D₁A0≌Rt△ACG，
∴D₁O=AG=2，
∴y軸上存在點D₁（0，2）使△D₁AC為直角三角形．
③以AD為斜邊，過點C作CD₂⊥AC交y軸于點D₂，
∵∠D₂CA=90°，∠GCE=90°，
∴∠D₂GE=∠ACG，
∴Rt△ACG∽Rt△D₂CE，
∴

ED2

CE

=

GA

CG

=

2

3

，
∵CE=1，
∴ED₂=

2

3

，
∵OE=3，
∴OD₂=OE-ED₂=

7

3

，
∴y軸上存在點D₂（0，-

7

3

）使△D₂AC為直角三角形．

點評：本題考查的是二次函數的有關知識以及相似三角形的判定等知識．考生要注意的是全面分析問題，分情況解答．