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(2008•蕪湖)如圖,已知A(-4,0),B(0,4),現(xiàn)以A點為位似中心,相似比為9:4,將OB向右側放大,B點的對應點為C.
(1)求C點坐標及直線BC的解析式;
(2)一拋物線經過B、C兩點,且頂點落在x軸正半軸上,求該拋物線的解析式并畫出函數圖象;
(3)現(xiàn)將直線BC繞B點旋轉與拋物線相交于另一點P,請找出拋物線上所有滿足到直線AB距離為的點P.

【答案】分析:(1)利用相似及相似比,可得到C的坐標.把A,B代入一次函數解析式即可求得解析式的坐標.
(2)頂點落在x軸正半軸上說明此函數解析式與x軸有一個交點,那么△=0,再把B,C兩點即可.
(3)到直線AB的距離為的直線有兩條,可求出這兩條直線解析式,和二次函數解析式組成方程組,求得點P坐標.
解答:解:(1)過C點向x軸作垂線,垂足為D,由位似圖形性質可知△ABO∽△ACD,

由已知A(-4,0),B(0,4)可知
AO=4,BO=4.
∴AD=CD=9,
∴C點坐標為(5,9),
設直線BC的解析式為y=kx+b,
∵A(-4,0),B(0,4)在一次函數解析式上,那么
-4k+b=0,b=4,
解得k=1,
化簡得y=x+4;

(2)設拋物線解析式為y=ax2+bx+c(a>0),由題意得
解得,
∴解得拋物線解析式為y1=x2-4x+4或y2=x2+x+4,
又∵y2=x2+x+4的頂點在x軸負半軸上,不合題意,故舍去.
∴滿足條件的拋物線解析式為y=x2-4x+4,
(準確畫出函數y=x2-4x+4圖象)

(3)將直線BC繞B點旋轉與拋物線相交于另一點P,設P到直線AB的距離為h,
故P點應在與直線AB平行,且相距的上下兩條平行直線l1和l2上.
由平行線的性質可得
兩條平行直線與y軸的交點到直線BC的距離也為
如圖,設l1與y軸交于E點,過E作EF⊥BC于F點,
在Rt△BEF中EF=h=,∠EBF=∠ABO=45°,
∴BE=6.
∴可以求得直線l1與y軸交點坐標為(0,10),
同理可求得直線l2與y軸交點坐標為(0,-2),
∴兩直線解析式l1:y=x+10;l2:y=x-2.
根據題意列出方程組:
(1);(2),
解得;,
∴滿足條件的點P有四個,
它們分別是P1(6,16),P2(-1,9),P3(2,0),P4(3,1).
點評:本題用到的知識點為:可把位似比轉換為相似三角形的相似比;到一條直線的距離為定值的直線是平行于已知直線的兩條直線;平行直線的k的值相等.
練習冊系列答案
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