Question

【題目】在△ABC中，∠A=40°.

（1）如圖1，若兩內(nèi)角∠ABC，∠ACB的角平分線交于點P，則∠P= ，∠A與∠P之間的數(shù)量關(guān)系是 ；

（2）如圖2，若內(nèi)角∠ABC，外角∠ACE的角平分線交于點P，則∠P= ，∠A與∠P之間的數(shù)量關(guān)系是 ；

（3）如圖3，若兩外角∠EBC，∠FCB的角平分線交于點P，則∠P= ，∠A與∠P之間的數(shù)量關(guān)系是 .

(選擇其中一種數(shù)量關(guān)系加以證明)

Answer 1

【答案】（1）∠P=90°+∠A；（2）∠P=∠A；（3）70°；∠P=90°-∠A.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B和∠C，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和是180°求出∠P=180°-（∠B+∠C）；

（2）根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和以及叫平分線的性質(zhì)可求出∠P，可得∠A與∠P之間的數(shù)量關(guān)系；

（3）根據(jù)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求得：∠EBC+∠BCF=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A，在△BCP中根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理即可求解．

試題解析：(1)∠ABC+∠C=180°∠A=180°40°=140°

∴(∠ABC+∠C)=×140°=70°，

∴∠P=180°(∠ABC+∠C)=110°.

∠A與∠P之間的數(shù)量關(guān)系是∠P=90°+∠A；

(2)∵∠ACE=∠ABC+∠P，

∴(∠A+∠ABC)=∠ABC+∠P，

∴(40°+∠ABC)=∠ABC+∠P，

∴∠P=20°.

∠A與∠P之間的數(shù)量關(guān)系是∠P=∠A；

(3)∵∠EBC=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，

∴∠EBC+∠BCF=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A，

∴∠PBC+∠PCB=90°+∠A.

又∵∠PBC+∠PCB+∠P=180°，

∴90°+∠A+∠P=180°，即∠P=90°∠A，

當∠A=40°時，∠P=70°.