(2007•濟(jì)南)已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為A(-3,0),C(1,0),tan∠BAC=
(1)求過(guò)點(diǎn)A,B的直線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)在x軸上找一點(diǎn)D,連接DB,使得△ADB與△ABC相似(不包括全等),并求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,如P,Q分別是AB和AD上的動(dòng)點(diǎn),連接PQ,設(shè)AP=DQ=m,問(wèn)是否存在這樣的m,使得△APQ與△ADB相似?如存在,請(qǐng)求出m的值;如不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】分析:(1)設(shè)過(guò)點(diǎn)A,B的直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,利用待定系數(shù)法可解得,,即直線AB的函數(shù)表達(dá)式為;
(2)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB,交x軸于點(diǎn)D,D點(diǎn)為所求.又tan∠ADB=tan∠ABC=,CD=BC÷tan∠ADB=3÷,可求OD=OC+CD=,所以D(,0);
(3)在Rt△ABC中,由勾股定理得AB=5,當(dāng)PQ∥BD時(shí),△APQ∽△ABD,解得;當(dāng)PQ⊥AD時(shí),△APQ∽△ADB,則解得
解答:解:(1)∵點(diǎn)A(-3,0),C(1,0),
∴AC=4,BC=tan∠BAC×AC=×4=3,B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3),
設(shè)過(guò)點(diǎn)A,B的直線的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,
,
∴直線AB的函數(shù)表達(dá)式為

(2)如圖,過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AB,交x軸于點(diǎn)D,
在Rt△ABC和Rt△ADB中,
∵∠BAC=∠DAB,
∴Rt△ABC∽R(shí)t△ADB,
∴D點(diǎn)為所求,
又tan∠ADB=tan∠ABC=
∴CD=BC÷tan∠ADB=3÷,
∴OD=OC+CD=,∴D(,0);

(3)這樣的m存在.
在Rt△ABC中,由勾股定理得AB=5,
如圖1,
當(dāng)PQ∥BD時(shí),△APQ∽△ABD,則
解得,
如圖2,
當(dāng)PQ⊥AD時(shí),△APQ∽△ADB,
,
解得
點(diǎn)評(píng):主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用.解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象的性質(zhì)和交點(diǎn)的意義求出相應(yīng)的線段的長(zhǎng)度或表示線段的長(zhǎng)度,再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解.
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A.60°
B.75°
C.90°
D.120°

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B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
D.第一、三、四象限

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A.S1>S2
B.S1=S2
C.S1<S2
D.不能確定

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B.75°
C.90°
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