Question

如圖，拋物線y=mx²+3mx-3（m＞0）與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，且tan∠OCB=

1

3

．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）如果點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，△ACD的面積為S，求S與x的關(guān)系式，并求當(dāng)S最大時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上，是否存在以A、C、E、P為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在求點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由拋物線解析式可求C（0，-3），在Rt△BOC中，已知tan∠OCB=

1

3

，OC=3，可求OB，確定B點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式求m即可；
（2）依題意可知，點(diǎn)D（x，

3

4

x2+

9

4

x-3），連接OD，由S_△ACD=S_△AOD+S_△DOC-S_△AOC，求S的表達(dá)式，利用配方法求S的最大值及此時(shí)D點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）存在．分三種情況：①當(dāng)以AC為邊，CP也是平行四邊形的邊；②當(dāng)以AC為對(duì)角線，CP為邊；③當(dāng)以AC為邊，CP是平行四邊形的對(duì)角線；結(jié)合圖形的性質(zhì)分別求解．

解答：解：（1）由拋物線y=mx²+3mx-3，得C（0，-3），
∵tan∠OCB=

1

3

，∠COB=90°，
∴

OB

OC

=

1

3

，∴B（1，0），
∵拋物線y=mx²+3mx-3（m＞0）過(guò)點(diǎn)B，
∴m+3m-3=0，∴m=

3

4

，
∴拋物線的解析式為y=

3

4

x2+

9

4

x-3；

（2）如圖1，∵拋物線對(duì)稱軸為x=-

3

2

，B（1，0），∴A（-4，0）連接OD，
∵點(diǎn)D在拋物線y=

3

4

x2+

9

4

x-3上，
∴設(shè)點(diǎn)D（x，

3

4

x2+

9

4

x-3），
則S_△ACD=S_△AOD+S_△DOC-S_△AOC
=

1

2

×4(-

3

4

x2-

9

4

x+3)+

1

2

×3(-x)-

1

2

×4×3
=-

3

2

x2-6x，
∴S=-

3

2

(x+2)2+6，
∴當(dāng)x=-2時(shí)，△ACD的面積S有最大值為6．
此時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-2，-

9

2

）．

（3）①如圖2，當(dāng)以AC為邊，CP也是平行四邊形的邊時(shí)，CP∥AE，點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，此時(shí)P（-3，-3）．
②如圖3，當(dāng)以AC為對(duì)角線，CP為邊時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)是（-3，-3）．
③如圖4、圖5，當(dāng)以AC為邊，CP是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)P、C到x軸的距離相等，
則

3

4

x2+

9

4

x-3=3，解得x=

-3± 41

2

，
此時(shí)P（

-3- 41

2

，3）（如圖4），或（

-3+ 41

2

，3）（如圖5），


綜上所述，存在三個(gè)點(diǎn)符合題意，分別是P₁（-3，-3），P₂（

-3- 41

2

，3），P₃（

-3+ 41

2

，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法等知識(shí)點(diǎn)．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．