Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，過點(diǎn)C的直線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求證：∠PCB=∠A；
（2）求證：PC是⊙O的切線；
（3）若點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn)，CM交AB于點(diǎn)N，求證：AM²=MN•MC．

Answer 1

證明：（1）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COB=2∠A，
∵∠COB=2∠PCB，
∴∠PCB=∠A；

（2）∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，
∴∠A=∠ACO=∠PCB．
又∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°．
即OC⊥CP，
∵OC是⊙O的半徑．
∴PC是⊙O的切線；（3分）

（3）連接MA，MB，
∵點(diǎn)M是弧AB的中點(diǎn)，
∴弧AM=弧MB
∴∠BCM=∠ABM（同圓中，相等的弧所對(duì)的圓周角相等），
∴△MBN∽△MCB．
∴BM²=MN•MC．
∴AM²=MN•MC．
分析：（1）利用半徑OA=OC可得∠COB=2∠A，然后利用∠COB=2∠PCB即可證得結(jié)論；
（2）已知C在圓上，故只需證明OC與PC垂直即可；根據(jù)圓周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切線；
（3）連接MA，MB，由圓周角定理可得∠ACM=∠BCM，進(jìn)而可得△MBN∽△MCB，故BM²=MN•MC；等量代換可得MN•MC=BM²=AM²．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查圓的切線的判定及圓周角定理的運(yùn)用和相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用．是一道綜合性的題目，難度中等偏上．