Question

在直角坐標(biāo)平面中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，二次函數(shù)y=x²+bx+c的圖象與y軸的負(fù)半軸相交于點(diǎn)C（如圖），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），且BO=CO．
（1）求出B點(diǎn)坐標(biāo)和這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）求△ABC的面積；
（3）若P是拋物線對(duì)稱軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)PA+PC的值最小時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），
∴OC=3，
∵BO=CO，
∴OB=3，
∴B（3，0），
∴，
解得：，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=x²-2x-3；

（2）∵二次函數(shù)的解析式為：y=x²-2x-3，
∴當(dāng)y=0時(shí)，x₁=-1，x₂=3，
∴AB=4，
S_△ABC==6；

（3）由拋物線的對(duì)稱性可以得出點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴連接BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)P，則點(diǎn)P是所求的點(diǎn)，
∵y=x²-2x-3，
∴y=（x-1）²-4，
∴對(duì)稱軸為：x=1，
∴P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，則
，
解得；，
∴直線BC的解析式為：y=x-3，
∴x=1，時(shí)，y=-2，
∴P（1，-2）．

分析：（1）由BO=CO及點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），就可以求出B的坐標(biāo)，再把B、C的坐標(biāo)代入解析式就可以求出二次函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)y=0時(shí)求出x的值，就可以求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出AB的長(zhǎng)，OC是高就可以求出三角形ABC的面積．
（3）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)及拋物線的圖象特征可以得出A點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是B點(diǎn)．連接BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是P點(diǎn)，求出BC的解析式，把對(duì)稱軸的橫坐標(biāo)代入直線的解析式就可以求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形的面積，軸對(duì)稱，最短路線問題．