Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（4，-1）的拋物線(xiàn)交y軸于A(yíng)點(diǎn)，交x軸于B，C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）。

（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)B作線(xiàn)段AB的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線(xiàn)BD相切，請(qǐng)判斷拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l與⊙C有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明；
（3）已知點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于A(yíng)，C兩點(diǎn)之間，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAC的面積最大？并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△PAC的最大面積。

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)為 ∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3） ∴ ∴ ∴拋物線(xiàn)為。 （2）l與⊙C相交 當(dāng)時(shí)，， ∴B為（2，0），C為（6，0） ∴ 設(shè)⊙C與BD相切于點(diǎn)E，連接， 則 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸l為 ∴點(diǎn)C到l的距離為2 ∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l與⊙C相交。
（3）如圖，過(guò)點(diǎn)P作平行于y軸的直線(xiàn)AC交于點(diǎn)Q 可求出AC的解析式為 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，） 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，） ∴ ∵ ∴當(dāng)時(shí)，的面積最大為 此時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（3，）。