Question

如圖是小明制作的一個(gè)圓錐形紙帽的示意圖，圍成這個(gè)紙帽的紙（圓錐的側(cè)面）的面積為

 

cm²．若從紙帽的底面圓周上點(diǎn)A處用一條紅線繞紙帽的側(cè)面一圈，那么這樣的紅線至少要

 

cm．（紅線的接頭長(zhǎng)度忽略不計(jì)）

Answer 1

分析：易得圓錐的底面半徑為10cm，圓錐的側(cè)面積=π×底面半徑×母線長(zhǎng)；易得圓錐的底面周長(zhǎng)，也就是側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)，利用弧長(zhǎng)公式可得圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)，求得側(cè)面展開(kāi)圖中AA′的距離即為最短的紅線長(zhǎng)．

解答：解：∵圓錐的底面半徑為20÷2=10cm，
∴圓錐的側(cè)面積=π×10×30=300πcm²．圓錐的底面周長(zhǎng)為2π×10=20πcm．
設(shè)圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角為n，

nπ×30

180

=20π，
解得n=120°．
作OC⊥AA′于點(diǎn)C，
∴∠AOC=60°，
∴AC=AO×sin∠AOC=15

3

cm，
∴AA′=2AC=30

3

cm．
故答案為300π；30

3

．

點(diǎn)評(píng)：考查圓錐的計(jì)算；突破點(diǎn)是求得圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角度數(shù)；用到的知識(shí)點(diǎn)為：立體幾何中的最短距離問(wèn)題要轉(zhuǎn)換為平面幾何中求兩點(diǎn)的距離問(wèn)題；圓錐的底面周長(zhǎng)等于側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)．