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如圖，在△ABC中，BC=9，CA=12，AB=15，∠ABC的平分線BD交AC于點D，DE⊥DB交AB于點E．

　　(1)求證：△ABC是直角三角形；

　　

　　(2)設⊙O是△BDE的外接圓，求證：AC是⊙O的切線；

　　

(3)設⊙O交BC于點F，連結EF，求AE的長和EF∶AC的值．

 

答案：
解析：

　　(1)證明：∵BC2+CA2=92+122=225，而AB2=152=225，

　　∴BC2+CA2=AB2.

　　∴△ABC是直角三角形．

　　(2)證明：連結OD． ∵∠BDE=90°．

　　∴BE是⊙O的直徑．

　　∴∠1=∠3. ∵∠1=∠2， ∴∠3=∠2.

　　∴OD∥BC． ∵BCAC，

　　∴ODAC． ∴AC是⊙O的切線．

　　(3)解：∵Rt△ABC∽Rt△AOD．

　　∴，即．

　　∴OD=．∴AE=AB-2OD=15-2=．

　　∵∠BFE=90°， ∴EF∥AC．

　　∴．

 


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75
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（　�。�
A、
1
2
B、（
2
2
）7
C、
1
4
D、
1
8

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度．

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16
cm．

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