Question

垂心、外心，重心的共線(xiàn)性（歐拉線(xiàn)）與三角形的心有關(guān)的幾何命題的證明．首先根據(jù)命題條件確定某特殊點(diǎn)是一個(gè)三角形的心，然后使用三角形的心的有關(guān)定理，證明命題成立．

Answer 1

證明：如圖，H是△ABC的垂心，O是△ABC的外心，連OH與中線(xiàn)AM交于G．
由△OGM∽△AGH得．
作MF∥CH交BH于F，作FE∥HA交AB于E，連OE，則E是AB的中點(diǎn)，四邊形EFMO是平行四邊形，
所以EF=OM．
∵EF=AH，∴OM=AH，即，
G是△ABC的重心．
因此，O，G，H三點(diǎn)共線(xiàn)．
分析：證明此題的關(guān)鍵是連OH與中線(xiàn)AM交于G．由△OGM∽△AGH利用對(duì)應(yīng)邊成比例，作MF∥CH交BH于F，作FE∥HA交AB于E，連OE，由此可得
EF=AH，OM=AH，即，即可證明．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)和三角形重心的理解和掌握，證明此題的關(guān)鍵是連OH與中線(xiàn)AM交于G，作MF∥CH交BH于F，作FE∥HA交AB于E，連OE．作好輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．