Question

已知，如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O₁，AB=AC，⊙O₂與BC相切于點(diǎn)B，與AB相交于點(diǎn)E，與⊙O₁相交于點(diǎn)D，直線AD交⊙O₂于點(diǎn)F，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．
求證：（1）∠G=∠AFE；（2）AB•EB=DE•AG．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD；若∠G=∠AFE成立，則EF必定和CG平行，那么一定有∠FEB=∠ABC；而在題中∠ABC=∠C，所以必須證明∠FEB=∠C，在這里可以以∠FDB為媒介；因?yàn)椤螰EB和∠FDB為⊙O₂中同弧所對(duì)圓周角相等，同時(shí)∠FDB又是⊙O₁內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角所以∠FDB=∠C，因此最終可證明結(jié)論成立．
（2）證AB•EB=DE•AG，即證，而B(niǎo)E=BF可證，所以整個(gè)式子就又轉(zhuǎn)化為；而作為來(lái)講，由△ADE∽△ABF可得，由EF∥CG可得；由此可得出我們所要的結(jié)論．
解答：證明：（1）連接BD．
∵∠FEB=∠FDB，∠FDB=∠C，
∴∠FEB=∠C．
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C．
∴∠FEB=∠ABC．
∴EF∥CG．
∴∠G=∠AFE．

（2）連接BF．
∵∠ADE=∠ABF，∠DAE=∠BAF，
∴△ADE∽△ABF．
∴．
又∵EF∥CG，
∴即．
∵∠BEF=∠ABC，∠ABC=∠BFE，
∴∠BEF=∠BFE．
∴BE=BF．
∴，即AB•EB=DE•AG．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是在圓中相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，難易程度適中．