Question

【題目】如圖①，△ABC與△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且點D在AB邊上，AB、EF的中點均為O，連結BF、CD、CO，顯然點C、F、O在同一條直線上，可以證明△BOF≌△COD，則BF=CD．

解決問題

（1）將圖①中的Rt△DEF繞點O旋轉得到圖②，猜想此時線段BF與CD的數量關系，并證明你的結論；

（2）如圖③，若△ABC與△DEF都是等邊三角形，AB、EF的中點均為O，上述（1）中的結論仍然成立嗎？如果成立，請說明理由；如不成立，請求出BF與CD之間的數量關系；

（3）如圖④，若△ABC與△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中點均為0，且頂角∠ACB=∠EDF=α，請直接寫出的值（用含α的式子表示出來）

Answer 1

【答案】（1） BF=CD．證明見解析；（2）（1）中的結論不成立．理由見解析；（3）=tan．

【解析】

試題分析：（1）如答圖②所示，連接OC、OD，證明△BOF≌△COD；

（2）如答圖③所示，連接OC、OD，證明△BOF∽△COD，相似比為；

（3）如答圖④所示，連接OC、OD，證明△BOF∽△COD，相似比為tan．

試題解析：（1）猜想：BF=CD．理由如下：

如答圖②所示，連接OC、OD．

∵△ABC為等腰直角三角形，點O為斜邊AB的中點，

∴OB=OC，∠BOC=90°．

∵△DEF為等腰直角三角形，點O為斜邊EF的中點，

∴OF=OD，∠DOF=90°．

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

∴∠BOF=∠COD．

∵在△BOF與△COD中，

∴△BOF≌△COD（SAS），

∴BF=CD．

（2）答：（1）中的結論不成立．

如答圖③所示，連接OC、OD．

∵△ABC為等邊三角形，點O為邊AB的中點，

∴=tan30°=，∠BOC=90°．

∵△DEF為等邊三角形，點O為邊EF的中點，

∴=tan30°=，∠DOF=90°．

∴．

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

∴∠BOF=∠COD．

在△BOF與△COD中，

∵，∠BOF=∠COD，

∴△BOF∽△COD，

∴

（3）如答圖④所示，連接OC、OD．

∵△ABC為等腰三角形，點O為底邊AB的中點，

∴=tan，∠BOC=90°．

∵△DEF為等腰三角形，點O為底邊EF的中點，

∴=tan，∠DOF=90°．

∴==tan

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

∴∠BOF=∠COD．

在△BOF與△COD中，

∵==tan，∠BOF=∠COD，

∴△BOF∽△COD，

∴=tan．