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【題目】如圖,ABC與DEF都是等腰直角三角形,ACB=EDF=90°,且點D在AB邊上,AB、EF的中點均為O,連結BF、CD、CO,顯然點C、F、O在同一條直線上,可以證明BOF≌△COD,則BF=CD

解決問題

1將圖中的RtDEF繞點O旋轉得到圖,猜想此時線段BF與CD的數量關系,并證明你的結論;

2如圖,若ABC與DEF都是等邊三角形,AB、EF的中點均為O,上述1中的結論仍然成立嗎?如果成立,請說明理由;如不成立,請求出BF與CD之間的數量關系;

3如圖,若ABC與DEF都是等腰三角形,AB、EF的中點均為0,且頂角ACB=EDF=α,請直接寫出的值用含α的式子表示出來

【答案】1BF=CD證明見解析;2)(1中的結論不成立理由見解析;3=tan

【解析】

試題分析:1如答圖所示,連接OC、OD,證明BOF≌△COD;

2如答圖所示,連接OC、OD,證明BOF∽△COD,相似比為;

3如答圖所示,連接OC、OD,證明BOF∽△COD,相似比為tan

試題解析:1猜想:BF=CD理由如下:

如答圖所示,連接OC、OD

∵△ABC為等腰直角三角形,點O為斜邊AB的中點,

OB=OC,BOC=90°

∵△DEF為等腰直角三角形,點O為斜邊EF的中點,

OF=OD,DOF=90°

∵∠BOF=BOC+COF=90°+COF,COD=DOF+COF=90°+COF,

∴∠BOF=COD

BOF與COD中,

∴△BOF≌△CODSAS,

BF=CD

2答:1中的結論不成立

如答圖所示,連接OC、OD

∵△ABC為等邊三角形,點O為邊AB的中點,

=tan30°=,BOC=90°

∵△DEF為等邊三角形,點O為邊EF的中點,

=tan30°=DOF=90°

∵∠BOF=BOC+COF=90°+COF,COD=DOF+COF=90°+COF,

∴∠BOF=COD

BOF與COD中,

,BOF=COD,

∴△BOF∽△COD,

3如答圖所示,連接OC、OD

∵△ABC為等腰三角形,點O為底邊AB的中點,

=tan,BOC=90°

∵△DEF為等腰三角形,點O為底邊EF的中點,

=tanDOF=90°

==tan

∵∠BOF=BOC+COF=90°+COF,COD=DOF+COF=90°+COF,

∴∠BOF=COD

BOF與COD中,

==tanBOF=COD,

∴△BOF∽△COD,

=tan

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