Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²=2（1-m）x-m²兩實(shí)數(shù)根為x₁、x₂．
（1）求m的取值范圍；
（2）設(shè)y=x₁+x₂+x₁x₂，求m為何值時(shí)，y的值最小，最小值是多少？
（3）若m=-1，求代數(shù)式

x1(-2x22+9x2-2)

x1+x2

的值．（提示：若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）兩實(shí)數(shù)根為x₁、x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

）

Answer 1

分析：（1）由根的判別式大于等于零，即可推出m的取值范圍；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系即可推出x₁+x₂，x₁x₂的值，推出y關(guān)于m的二次函數(shù)表達(dá)式，即可推出m為何值時(shí)，y有最小值；
（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，推出x₁+x₂，x₁x₂的值，然后通過對(duì)代數(shù)式的化簡即可推出代數(shù)式的值．

解答：解：（1）∵一元二次方程x²=2（1-m）x-m²，
∴x²-2（1-m）x+m²=0，
∵△=b²-4ac≥0，
∴[2（1-m）]²-4m²=4-8m≥0，
∴m≤

1

2

，

（2）∵一元二次方程x²=2（1-m）x-m²，
∴x₁+x₂=2-2m，x₁x₂=m²，
∴y=x₁+x₂+x₁x₂=2-2m+m²，
∵此二次函數(shù)圖象開口向上，y有最小值，
∴-

b

2a

=-

-2

2

=1，
∴當(dāng)m=1時(shí)，y有最小值，
∴y=2-2m+m²=2-2+1=1，

（3）∵x₁+x₂=2-2m，x₁x₂=m²，m=-1，
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=1，
∴原式=

-2x1x2x2+9 x1x2-2x1

4

=

-2x2+9x1x2-2x1

4

，
=

-2×4+9

4

=

1

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，關(guān)鍵在于正確運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)，認(rèn)真的進(jìn)行計(jì)算．