【題目】在同一平面內(nèi),若點(diǎn)PABC三個(gè)頂點(diǎn)中的任意兩個(gè)頂點(diǎn)連接形成的三角形都是等腰三角形,則稱(chēng)點(diǎn)PABC的巧妙點(diǎn).

1)如圖1,求作ABC的巧妙點(diǎn)P(尺規(guī)作圖,不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡).

2)如圖2,在ABC中,∠A=80°,AB=AC,求作ABC的所有巧妙點(diǎn)P (尺規(guī)作圖,不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡),并直接寫(xiě)出∠BPC的度數(shù)是 .

3)等邊三角形的巧妙點(diǎn)的個(gè)數(shù)有(

A.2 B.6 C.10 D.12

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2) 40°,160° ,140° ,80°;(3)C.

【解析】

1)根據(jù)題意可知,巧妙點(diǎn)必在某條邊的垂直平分線上,所以只需要作出兩邊的垂直平分線即可找到巧妙點(diǎn);
2)根據(jù)題意分別以A、C為圓心,AC為半徑畫(huà)圓,交BC邊的垂直平分線的點(diǎn)即為點(diǎn)P,連接兩圓的交點(diǎn)與BC邊的垂直平分線的交點(diǎn)也為點(diǎn)P,最后分類(lèi)討論即可求∠BPC的度數(shù);
3)分別以等邊三角形的三條邊作其垂直平分線,再分別以等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心,等邊三角形的邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓,分別與三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)即為等邊三角形的巧妙點(diǎn).

解:(1)作BC邊的垂直平分線:分別以B、C為圓心,大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,連接其圓弧的交點(diǎn);
同理作AB邊的垂直平分線:分別以A、B為圓心,大于的長(zhǎng)為半徑,連接其圓弧的交點(diǎn);
AB邊的垂直平分線與BC邊的垂直平分線的交點(diǎn)即為巧妙點(diǎn)P.

∴點(diǎn)P為所求.

2)作BC邊上的垂直平分線,再分別以AC為圓心,AC為半徑畫(huà)圓,交BC邊的垂直平分線的交點(diǎn)從上至下依次為 ,連接兩圓的交點(diǎn),交CB邊的垂直平分線的交點(diǎn)為, 即為所求.


①接,
,
,


②連接,
AC、BC邊的垂直平分線的交點(diǎn),

,

即:
③接 ,
,BC邊上的垂直平分線,

,


④連接,
,,BC邊上的垂直平分線,
,
,;
綜上所述的度數(shù)可能為.

3)分別以等邊三角形的三條邊作其對(duì)應(yīng)邊的垂直平分線,再分別以等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為圓心,等邊三角形的邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓,分別與三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)和三條垂直平分線的交點(diǎn)即為等邊三角形的巧妙點(diǎn).如下圖:巧妙點(diǎn)P10個(gè),故選C.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)若⊙O的半徑為2,則的長(zhǎng)為多少?

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②△CMN的周長(zhǎng)等于正方形ABCD的邊長(zhǎng)的兩倍;

③EF2=BE2+DF2

點(diǎn)AMN的距離等于正方形的邊長(zhǎng)

⑤△AEN、△AFM都為等腰直角三角形.

⑥SAMN=2SAEF

⑦S正方形ABCD:SAMN=2AB:MN

設(shè)AB=a,MN=b,則≥2﹣2.

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④把點(diǎn)繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到點(diǎn)

其中,正確的說(shuō)法是(

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