Question

已知：如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B和∠D都是直角.

⑴ 求證：BC=CD.

⑵ 若將原題中的已知條件“∠B和∠D都是直角”放寬為“∠B和∠D互為補(bǔ)角”,其余條件不變，猜想：BC邊和鄰邊CD的長(zhǎng)度是否一定相等？請(qǐng)證明你的結(jié)論.

⑶ 探究：在⑵的情況下，如果再限制∠BAD=60°，那么相鄰兩邊AB、AD和對(duì)角線AC之間有什么確定的數(shù)量關(guān)系？需說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

⑴見(jiàn)解析⑵ 一定相等，見(jiàn)解析⑶AB+AD=AC，理由見(jiàn)解析

【解析】解：⑴ 證明：∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC.

又∵∠D =∠B=Rt∠，AC公用，

           ∴△ABC≌△ADC.

           ∴ BC=CD.                     …………………………………………2分

 ⑵ 一定相等 .                 ………………………………………………3分

證明：如圖2，不妨設(shè)∠B為銳角，作CE⊥AB于E，則點(diǎn)E必在線段AB上

    ∵∠B和∠D互為補(bǔ)角，

∴∠D是鈍角，作CF⊥AD于F，

則點(diǎn)F必在線段AD的延長(zhǎng)線上.

∴∠CDF與∠ADC互補(bǔ).

∴∠B=∠CDF.

又∵AC是∠BAD的平分線， ∴ CE=CF.

∴Rt△BCE≌Rt△DCF

∴ BC=CD.                 ………………………………………………6分

⑶ AB+AD=AC.               ………………………………………………7分

   理由是：圖2中，由已知條件，易知AE=AF，BE=DF.

∴AB+AD=（AE+BE）+（AF-DF）=AE+AF=2AE.

當(dāng)∠BAD=60°時(shí)，∠CAE=30°，AE=AC.

∴AB+AD=2AE=AC.         ………………………………………………10分

（1）由AC平分∠BAD與∠B和∠D都是直角，以及AC是公共邊，根據(jù)AAS即可證得△ABC≌△ADC，則可得BC=CD；

（2）首先不妨設(shè)∠B為銳角，作CE⊥AB于E，則點(diǎn)E必在線段AB上，由∠B和∠D互為補(bǔ)角，可得∠D是鈍角，作CF⊥AD于F，則點(diǎn)F必在線段AD的延長(zhǎng)線上，則可得∠D=∠CBF，又由AC是∠BAD的平分線，與CE=CF，即可證得Rt△BCF≌Rt△DCE，則可得BC=CD；

（3）在圖2中，由已知條件，易知AE=AF，BE=DF，則可得AB+AD=（AE+BE）+（AF-DF）=AE+AF=2AE，則可證得AB+AD=2AE=AC