Question

（2013•阜寧縣一模）在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常需要總結(jié)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法．如類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，如下是一個案例，請補(bǔ)充完整．
題目：如圖1，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AE上，BF的延長線交射線CD于點(diǎn)G，若

AF

EF

=3，求

CD

CG

的值．

（1）嘗試探究
在圖1中，過點(diǎn)E作EH∥AB交BG于點(diǎn)H，則易求

AB

EH

的值是

3

，

CG

EH

的值是

2

，從而確定

CD

CG

的值是

3

2

．
（2）類比延伸
如圖2，在原題的條件下，若

AF

EF

=m（m＞0），則

CD

CG

的值是

m

2

．（用含m的代數(shù)式表示），寫出解答過程．
（3）拓展遷移
如圖3，在梯形ABCD中，DC∥AB，點(diǎn)E是BC延長線上的一點(diǎn)，AE和BD相交于F，若

AB

CD

=a，

BC

BE

=b（a＞0，b＞0），則

AF

EF

的值是

ab

．（用含a、b的代數(shù)式表示）寫出解答過程．

Answer 1

分析：（1）過E點(diǎn)作平行線，構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形和中位線的性質(zhì)，分別將各相關(guān)線段均統(tǒng)一用EH來表示，最后求得比值；
（2）先作EH∥AB交BG于點(diǎn)H，得出△EFH∽△AFB，即可得出

AB

EH

=

AF

EF

=m，再根據(jù)AB=CD，表示出CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出△BEH∽△BCG，即可表示出

CG

EH

=

BC

BE

，從而得出

CD

CG

的值；
（3）先過點(diǎn)E作EH∥AB交BD的延長線于點(diǎn)H，得出EH∥AB∥CD，根據(jù)EH∥CD，得出△BCD∽△BEH，即可求出CD=bEH，再根據(jù)

AB

CD

=a，得出AB=aCD=abEH，再進(jìn)一步證出△ABF∽△EHF，從而得出

AF

EF

的值．

解答：解：（1）過點(diǎn)E作EH∥AB交BG于點(diǎn)H，
則有△ABF∽△HEF，
∴

AB

EH

=

AF

EF

，
∴AB=3EH．
∵平行四邊形ABCD中，EH∥AB，
∴EH∥CD，
又∵E為BC中點(diǎn)，
∴EH為△BCG的中位線，
∴CG=2EH，
∴

CD

CG

=

AB

CG

=

3EH

2EH

=

3

2

．
故答案為：3，2，

3

2

．

（2）作EH∥AB交BG于點(diǎn)H，則△EFH∽△AFB，
∴

AB

EH

=

AF

EF

=m，
∴AB=mEH．
∵AB=CD，
∴CD=mEH．
∵EH∥AB∥CD，
∴△BEH∽△BCG．
∴

CG

EH

=

BC

BE

=2，
∴CG=2EH．
∴

CD

CG

=

mEH

2EH

=

m

2

．
故答案為：

m

2

．

（3）過點(diǎn)E作EH∥AB交BD的延長線于點(diǎn)H，則有EH∥AB∥CD，
∵EH∥CD，
∴△BCD∽△BEH，
∴

CD

EH

=

BC

BE

=b，
∴CD=bEH．
又

AB

CD

=a，
∴AB=aCD=abEH．
∵EH∥AB，
∴△ABF∽△EHF，
∴

AF

EF

=

AB

EH

=

abEH

EH

=ab；
故答案為：ab．

點(diǎn)評：此題考查了相似性的綜合，用到的知識點(diǎn)是相似形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)有關(guān)性質(zhì)和定理求出各線段的比值．