Question

（2012•徐匯區(qū)二模）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，sinB=

3

5

，⊙B的半徑長為1，⊙B交邊CB于點(diǎn)P，點(diǎn)O是邊AB上的動點(diǎn)．
（1）如圖1，將⊙B繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°得到⊙M，請判斷⊙M與直線AB的位置關(guān)系；
（2）如圖2，在（1）的條件下，當(dāng)△OMP是等腰三角形時，求OA的長； 
（3）如圖3，點(diǎn)N是邊BC上的動點(diǎn)，如果以NB為半徑的⊙N和以O(shè)A為半徑的⊙O外切，設(shè)NB=y，OA=x，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及定義域．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)M作MD⊥AB，垂足為D，根據(jù)MB=2，結(jié)合sin∠B的值，可得出MD的長，與圓M的半徑進(jìn)行比較即可得出⊙M與直線AB的位置關(guān)系；
（2）根據(jù)（1）得出MD＞MP，OM＞MP，從而△OMP是等腰三角形可分兩種情況討論，①OP=MP，②OM=OP，分別運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求解OA即可；
（3）先表示出NF、BF，從而可得出OF的表達(dá)式，由⊙N和⊙O外切，可得出ON=x+y，在Rt△NFO中利用勾股定理，可得出y與x的關(guān)系式，也可得出自變量的定義域．

解答：解：（1）⊙M與直線AB相離，理由如下：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵sinB=

AC

AB

=

3

5

，AC=6，
∴AB=10，BC=

AB2-AC2

=

102-62

=8．
過點(diǎn)M作MD⊥AB，垂足為D，
在Rt△MDB中，∠MDB=90°，sinB=

MD

MB

=

3

5

，
∵M(jìn)B=2，
∴MD=

3

5

×2=

6

5

＞1，
故可得⊙M與直線AB相離；

（2）∵MD=

6

5

＞1=MP，
∴OM＞MP．
分兩種情況討論，
1°當(dāng)OP=MP時，此時OP=MP=PB，
故易得∠MOB=90°，
∴cosB=

OB

BM

=

BC

AB

=

8

10

，
∴OB=

8

5

，
∴OA=

42

5

；
2°當(dāng)OM=OP時，過點(diǎn)O作OE⊥BC，垂足為E
EB=EP+PB=

1

2

+1=

3

2

，
此時cosB=

EB

OB

=

BC

AB

=

8

10

，
∴OB=

15

8

，
∴OA=

65

8

．
綜上可得，當(dāng)△OMP是等腰三角形時，OA的長為

42

5

或

65

8

；

（3）連接ON，過點(diǎn)N作NF⊥AB，垂足為F．
在Rt△NFB中，∠NFB=90°，sinB=

3

5

，
設(shè)NB=y，則NF=

3

5

y，BF=

4

5

y，
故可得OF=10-x-

4

5

y，
∵⊙N和⊙O外切，
∴ON=x+y，
在Rt△NFO中，∠NFO=90°，則ON²=OF²+NF²，
即(x+y)2=(10-x-

4

5

y)2+(

3

5

y)2，
故可得y=

250-50x

x+40

，定義域?yàn)椋?＜x＜5．

點(diǎn)評：此題屬于圓的綜合題，涉及了直線與圓的位置關(guān)系、勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難點(diǎn)在第二問和第三問，解答時注意分類討論思想的運(yùn)用，另外要求我們能將所學(xué)知識融會貫通．