Question

已知等腰三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)分別是A(0，1)、B(0，3)，第三個(gè)頂點(diǎn)C在x軸的正半軸上．關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過(guò)A、D(3，－2)、P三點(diǎn)，且點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在x軸上．

(1)求直線(xiàn)BC的解析式；

(2)求拋物線(xiàn)y＝ax²＋bx＋c的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)設(shè)M是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PM＋CM的取值范圍．

Answer 1

解：(1)∵A(0，1)，B(0，3)，∴AB=2．

∵△ABC是等腰三角形，且點(diǎn)C在軸的正半軸上，

∴AC=AB=2．∴OC=.∴C(，0)．

設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為，∴．

∴直線(xiàn)BC的解析式為．

(2)∵拋物線(xiàn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，∴b=0．

又拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A(0，1)，D(3，一2)兩點(diǎn)．

∴，解得，∴拋物線(xiàn)的解析式是．

在Rt △AOC中，OA=1，AC=2，易得∠ACD=30°．

在Rt△BOC中，OB=3，OC=，易得∠BCO=60°．

∴CA是∠BCO的角平分線(xiàn)．∴直線(xiàn)BC與軸關(guān)于直線(xiàn)AC對(duì)稱(chēng)．

點(diǎn)P關(guān)于直線(xiàn)AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在軸上，

則符合條件的點(diǎn)P就是直線(xiàn)BC與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)．

∵點(diǎn)P在直線(xiàn)BC：上，故設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(，一+3)．

又點(diǎn)P(，一+3)在拋物線(xiàn)上．

∴一+3=，解得₁=，₂=2。

故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)是P₁(，0)，P₂(2，一3)．

(3)要求PM+CM的取值范圍，可先求PM+CM的最小值．

I)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(，0)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，故PM+CM=2CM．

顯然CM的最小值就是點(diǎn)C到軸的距離為．∵點(diǎn)M是軸上的動(dòng)點(diǎn)，

∴PM+CM無(wú)最大值，∴PM+CM≥2 

Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2，一3)時(shí)，由點(diǎn)C關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C’(一，0)，

故只要求PM+MC’的最小值，顯然線(xiàn)段PC’最短，易求得PC’=6．

∴PM+CM的最小值是6．同理PM+CM沒(méi)有最大值，

∴PM+CM的取值范圍是PM+CM≥6．

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(，0)時(shí)，PM+CM≥2，

當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2，一3)時(shí)，PM+CM≥6．