Question

（2013•石景山區(qū)一模）問(wèn)題解決：
已知：如圖，D為AB上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A、B作CA⊥AB于點(diǎn)A，EB⊥AB于點(diǎn)B，聯(lián)結(jié)CD、DE．
（1）請(qǐng)問(wèn)：點(diǎn)D滿(mǎn)足什么條件時(shí)，CD+DE的值最��？
（2）若AB=8，AC=4，BE=2，設(shè)AD=x．用含x的代數(shù)式表示CD+DE的長(zhǎng)（直接寫(xiě)出結(jié)果）．
拓展應(yīng)用：
參考上述問(wèn)題解決的方法，請(qǐng)構(gòu)造圖形，并求出代數(shù)式

x2+1

+

(4-x)2+4

的最小值．

Answer 1

分析：（1）由兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短可知：當(dāng)點(diǎn)D、C、E三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上時(shí)，CD+DE的值最小；
（2）根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；
（3）過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線(xiàn)交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，再證明四邊形AFEB是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理即可出代數(shù)式

x2+1

+

(4-x)2+4

的最小值．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)D、C、E三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上時(shí)，CD+DE的值最小，
（2）CD+DE=

x2+16

+

(8-x)2+4

，
（3）如圖，令A(yù)B=4，AC=1，BE=2，設(shè)AD=x，則BD=4-x，
CD+DE=

AD2+AC2

+

BD2+BE2

=

x2+1

+

(4-x)2+4

，
∵D、C、E三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上時(shí)，CD+DE的值最小，
∴CE的長(zhǎng)即為

x2+1

+

(4-x)2+4

的最小值，
過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線(xiàn)交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，
∵CA⊥AB于A，EB⊥AB于B，
∴AF∥BE，
∴四邊形AFEB是矩形，
∴AF=BE=2，EF=AB=4，
在Rt△CFE中，∠F=90°，CF=3，
∴

x2+1

+

(4-x)2+4

的最小值為5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短的公理以及勾股定理的運(yùn)用和矩形的判定及其性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等．