Question

如圖，⊙O的半徑均為R．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D①中畫出弦AB，CD，使圖①為軸對(duì)稱圖形而不是中心對(duì)稱圖形；請(qǐng)?jiān)趫D②中畫出弦AB，CD，使圖②仍為中心對(duì)稱圖形；
（2）如圖③，在⊙O中，AB=CD=m（0＜m＜2R），且AB與CD交于點(diǎn)E，夾角為銳角α．求四邊形ACBD的面積（用含m，α的式子表示）；
（3）若線段AB，CD是⊙O的兩條弦，且AB=CD=R，你認(rèn)為在以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形中，是否存在面積最大的四邊形？請(qǐng)利用圖④說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）答案不唯一，如圖①、②

（2）過(guò)點(diǎn)A，B分別作CD的垂線，垂足分別為M，N，
∵S_△ACD=CD•AM=CD•AE•sinα，S_△BCD=CD•BN=CD•BE•sinα，
∴S_{四邊形ACBD}=S_△ACD+S_△BCD=CD•AE•sinα+CD•BE•sinα
=CD•（AE+BE）sinα=CD•AB•sinα=m²•sinα．

（3）存在．分兩種情況說(shuō)明如下：
①當(dāng)AB與CD相交時(shí)，由（2）及AB=CD=知S_{四邊形ACBD}=AB•CD•sinα=R²sinα，
②當(dāng)AB與CD不相交時(shí)，如圖④．

∵AB=CD=，OC=OD=OA=OB=R，
∴∠AOB=∠COD=90°．
而S_{四邊形ABCD}=S_Rt△AOB+S_Rt△OCD+S_△AOD+S_△BOC=R²+S_△AOD+S_△BOC
延長(zhǎng)BO交⊙O于點(diǎn)E，連接EC，
則∠1+∠3=∠2+∠3=90°．
∴∠1=∠2．
∴△AOD≌△COE．
∴S_△AOD=S_△OCE
∴S_△AOD+S_△BOC=S_△OCE+S_△BOC=S_△BCE
過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BE，垂足為H，
則S_△BCE=BE•CH=R•CH．
∴當(dāng)CH=R時(shí)，S_△BCE取最大值R²
綜合①、②可知，當(dāng)∠1=∠2=90°．
即四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為的正方形時(shí)，S_{四邊形ABCD}=R²+R²=2R²為最大值．
分析：（1）使圖①為軸對(duì)稱圖形而不是中心對(duì)稱圖形；可讓弦AB=CD且AB與CD不平行（相交時(shí)交點(diǎn)不為圓心）．使圖②仍為中心對(duì)稱圖形；可讓AB=CD且AB∥CD，也可讓AB，CD作為兩條圓內(nèi)不重合的直徑．
（2）可以以CD或AB為底來(lái)求兩三角形的面積和，先作高，然后用AE，BE（CE，DE也可以）和sinα表示出這兩個(gè)三角形的高，然后根據(jù)三角形的面積公式可得出CD×（AE+BE）•sinα，AE+BE正好是AB的長(zhǎng)，因此兩三角形的面積和就能求出來(lái)了．
（3）要分兩種情況進(jìn)行討論：
當(dāng)兩弦相交時(shí)，情況與（2）相同，可用（2）的結(jié)果來(lái)得出四邊形的面積（此時(shí)四邊形的面積正好是兩個(gè)三角形的面積和）．
當(dāng)兩弦不相交時(shí)，我們可連接圓心和四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，將四邊形分成4個(gè)三角形來(lái)求解，由于AB=CD=R，那么我們可得出三角形OAB和OCD應(yīng)該是個(gè)等腰直角三角形，那么他們的面積和就應(yīng)該是R²，下面再求出三角形AOD和BOC的面積和，我們由于∠AOD+∠BOC=180°，我們可根據(jù)這個(gè)特殊條件來(lái)構(gòu)建全等三角形求解．延長(zhǎng)BO交圓于E，那么三角形AOD就應(yīng)該和三角形CEO全等，那么求出三角形BCE的面積就求出了三角形AOD和BOC的面積和，那么要想使四邊形的面積最大，三角形BEC中高就必須最大，也就是半徑的長(zhǎng)，此時(shí)三角形BEC的面積就是R²，三角形BEC是個(gè)等腰直角三角形，那么四邊形ABCD就是個(gè)正方形，因此四邊形ABCD的最大面積就是2R²．因此當(dāng)∠AOD=∠BOC=90°時(shí)，四邊形ABCD的面積就最大，最大為2R²．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓內(nèi)軸對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形的區(qū)別以及解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．在求三角形的面積時(shí)，要根據(jù)已知的條件來(lái)選擇底邊，這樣可使解題更加簡(jiǎn)便．