Question

【題目】已知△ABC中，D為AB邊上任意一點，DF∥AC交BC于F，AE∥BC，∠CDE=∠ABC=∠ACB=α．
（1）如圖1，當α=60°時，求證：△DCE是等邊三角形；

（2）如圖2，當α=45°時，求證：① = ；②CE⊥DE．

（3）如圖3，當α為任意銳角時，請直接寫出線段CE與DE的數(shù)量關系是： = ．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1中，

∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴BC=BA，

∵DF∥AC，

∴∠BFD=∠BCA=60°，∠BDF=∠BAC=60°，

∴△BDF是等邊三角形，

∴BF=BD，

∴CF=AD，∠CFD=120°，

∵AE∥BC，

∴∠B+∠DAE=180°，

∴∠DAE=∠CFD=120°，

∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE，

∵∠CDE=∠B=60°，

∴∠FCD=∠ADE，

∴△CFD≌△DAE，

∴DC=DE，∵∠CDE=60°，

∴△CDE是等邊三角形

（2）

證明：①如圖2中，作FG⊥AC于G．

∵∠B=∠ACB=45°，

∴∠BAC=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∵DF∥AC，

∴∠BDF=∠BAC=90°，

∴∠BFD=45°，∠DFC=135°，

∵AE∥BC，

∴∠BAE+∠B=180°，

∴∠DFC=∠DAE=135°，

∵∠CDA=∠B+∠BCD=∠CDE+∠ADE，

∵∠CDE=∠B=45°，

∴∠FCD=∠ADE，

∴△CFD∽△DAE，

∴ = ，

∵四邊形ADFG是矩形，F(xiàn)C= FG，

∴FG=AD，CF= AD，

∴ = ，

②作CE′⊥DE于E′

∵∠CDE=45°，

∴DE′=CDcos45°= CD，

∵DE= CD，

∴點E與點E′重合，

∴CE⊥DE

（3）1
【解析】（3）解：如圖3中，設AC與DE交于點O．

∵AE∥BC，
∴∠EAO=∠ACB，
∵∠CDE=∠ACB，
∴∠CDO=∠OAE，∵∠COD=∠EOA，
∴△COD∽△EOA，
∴ = ，
∴ = ，∵∠COE=∠DOA，
∴△COE∽△DOA，
∴∠CEO=∠DAO．
∵∠CED+∠CDE+∠DCE=180°，∠BAC+∠B+∠ACB=180°，
∵∠CDE=∠B=∠ACB，
∴∠EDC=∠ECD，
∴EC=ED，
∴ =1．
故答案為1．
（1）想辦法證明△CFD≌△DAE即可解決問題．（2）①如圖2中，作FG⊥AC于G．只要證明△CFD∽△DAE，推出 = ，再證明CF= AD即可．②作CE′⊥DE于E′，只要證明點E與點E′重合，即可推出CE⊥DE．（3）想辦法證明EC=ED即可解決問題．