Question

如圖，拋物線y＝(x＋1)²＋k 與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C (0，－3)．

（1）求拋物線的對(duì)稱軸及k的值；

（2）拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P，使得PA＋PC的值最小，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在第三象限．

① 當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△AMB的面積最大？求出△AMB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；

② 當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝－1，

把C (0，－3)代入y＝(x＋1)²＋k得

－3＝1＋k  ∴k＝－4

（2）連結(jié)AC，交對(duì)稱軸于點(diǎn)P

            ∵y＝(x＋1)²－4   令y＝0   可得(x＋1)²－4＝0

∴x₁＝1   x₂＝－3

∴A (－3，0)   B (1，0)

設(shè)直線AC的關(guān)系式為：y＝m x＋b

把A (－3，0)，C (0，－3)代入y＝m x＋b得，

－3m＋b＝0     b＝－3     ∴m＝－1

∴線AC的關(guān)系式為y＝－x－3

當(dāng)x＝－1時(shí)，y＝1－3＝－2

∴P (－1，－2)

② 當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（3）① 設(shè)M的坐標(biāo)為（x, (x＋1)²－4）

     ∴S_△AMB＝×AB×｜y_m｜＝×4×[4－(x＋1)²]

＝8－2(x＋1)²

當(dāng)x＝－1時(shí)，S最大，最大值為S＝8

M的坐標(biāo)為(－1，－4)

② 過(guò)M作x軸的垂線交于點(diǎn)E，連接OM，

S_{四邊形AMCB}＝S_△AMO＋S_△CMO＋S_△CBO＝×AB×|y_m|＋×CO×|x_m|＋×OC×BO

＝6－ (x＋1)²＋×3×(－x)＋×3×1

＝－x²－ x＋6＝－（x²＋3x－9）＝－（x＋）²－

當(dāng)x＝－ 時(shí)，S最大，最大值為