Question

已知拋物線y=x²+px+q上有一點M（x₀，y₀）位于x軸的下方．
（1）求證：已知拋物線必與x軸有兩個交點A（x₁，0），B（x₂，0），其中x₁＜x₂；
（2）求證：x₁＜x₀＜x₂；
（3）當點M為（1，-1999）時，求整數(shù)x₁，x₂．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=x²+px+q中a=1＞0，可知拋物線開口上，由于點M（x₀，y₀）位于x軸，故此拋物線與x軸必有兩個不同的交點；
（2）把M（x₀，y₀）代入拋物線的解析式可得到y(tǒng)₀=（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0，再由不等式的性質(zhì)求解即可；
（3）由根與系數(shù)的關(guān)系可知x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q，再把M點代入方程，p和q用x₁和x₂代換整理即可求出x₁、x₂的值．

解答：解：（1）函數(shù)y=x²+px+q可化為y=（x+

p

2

）²+q-

p2

4

，
將M（x₀，y₀）代入得，y₀=（x₀+

p

2

）²+q-

p2

4

＜0，
∵y₀＜0，
∴q-

p2

4

＜0，即p²＞4q，
∵△=p²-4q，
∴△＞0，
∴拋物線必與x軸有兩個不同的交點；

（2）設(shè)y=（x-x₁）（x-x₂），將x₀代入，則y₀=（x₀-x₁）（x₀-x₂）＜0，
∴（x₀-x₁）＞0且（x₀-x₂）＜0，或（x₀-x₁）＜0且（x₀-x₂）＞0，
∵x₁＜x₂，只能是前一種情況，
∴x₁＜x₀＜x₂；

（3）∵x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q，
∴M點代入方程，p和q用x₁和x₂代換整理得，
x₁•x₂-（x₁+x₂）+1=-1999，即（x₁-1）（x₂-1）=-1999，
又∵x₁和x₂是整數(shù)及x₁＜x₂，
∴x₁=-1998，x₂=2，或x₁=0，x₂=2000．

點評：本題考查的是拋物線與x軸的交點問題，把拋物線與坐標軸的交點問題轉(zhuǎn)化為與二元一次方程有關(guān)的問題是解答此題的關(guān)鍵．