Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分線交AC于D，過C作BD垂線交BD的延長線于E，交BA的延長線于F，求證：BD=2CE．

Answer 1

證明：∵∠ABC的平分線交AC于D，
∴∠FBE=∠CBE，
∵BE⊥CF，
∴∠BEF=∠BEC，
在△BFE和△BCE中
，
∴△BFE≌△BCE（ASA），
∴CE=EF，
∴CF=2CE，
∵∠BAC=90°，且AB=AC，
∴∠FAC=∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠FBE=∠CBE=22.5°，
∴∠F=∠ADB=67.5°，
又AB=AC，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（AAS），
∴BD=CF，
∴BD=2CE．
分析：根據(jù)已知條件，易證△BFE≌△BCE，所以BF=BC，所以∠F=∠BCE，根據(jù)等腰三角形三線合一這一性質(zhì)，CE=FE，再證明△ABD≌△ACF，證得BD=CF，從而證得BD=2CE．
點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用等邊對等角以及等腰三角形三線合一的性質(zhì)．