Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥DC，BC=10cm，CD=6cm．在線段BC、CD上有動點F、E，點F以每秒2cm的速度，在線段BC上從點B向點C勻速運動；同時點E以每秒1cm的速度，在線段CD上從點C向點D勻速運動．當點F到達點C時，點E同時停止運動．設點F運動的時間為t（秒）．
（1）求AD的長；
（2）設四邊形BFED的面積為y，求y 關于t的函數關系式，并寫出函數定義域；
（3）點F、E在運動過程中，如△CEF與△BDC相似，求線段BF的長．

Answer 1

解：（1）∵AD∥CB，
∴∠ADB=∠DBC
又BD⊥DC，∠A=90°
∴∠A=∠BDC=90°
∴△ABD∽△DCB（2分）
在直角三角形BDC中，BD==8，
∴，即，
解得：AD=6.4cm（1分）

（2）過點E作BC的垂線，垂足為G，
在Rt△DBC中，，
在Rt△EGC中，∴EG=t，
∴（0＜t＜5）（3分）

（3）當∠BDC=∠FEC=90°，=，即=，求出t=cm，則BF=2t=cm；
當∠BDC=∠EFC=90°，=，代入求出CF=cm，則BF=BC-CF=cm；
綜上所述：BF=cm或者BF=cm．（2分）
分析：（1）首先根據已知條件“BD⊥DC，∠A=90°”及平行線的性質（兩直線AD∥CB，內錯角∠ADB=∠DBC）證明△ABD∽△DCB；然后由勾股定理及相似三角形的對應邊成比例求得AD的長度；
（2）過點E作BC的垂線，垂足為G．在Rt△DBC和在Rt△EGC中，利用正弦函數求得EG=t，然后利用割補法求得四邊形EFDB的面積；
（3）分兩種情況：①當∠BDC=∠FEC=90°時，求BF的長；②當∠BDC=∠EFC=90°時，求BF的長．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質、直角三角形、直角梯形．解（3）題時，原題中沒有提出△CEF與△BDC相似的對應角與對應邊，所以應分類討論：①△BDC∽△FEC；②△BDC∽△EFC，防止漏解．