Question

（2012•德州）如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn)B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．
（1）求證：∠APB=∠BPH；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠PBC=∠BPH，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出∠APB=∠PBC即可得出答案；
（2）首先證明△ABP≌△QBP，進(jìn)而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8；
（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，進(jìn)而利用在Rt△APE中，（4-BE）²+x²=BE²，利用二次函數(shù)的最值求出即可．

解答：（1）解：如圖1，∵PE=BE，
∴∠EBP=∠EPB．
又∵∠EPH=∠EBC=90°，
∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP．
即∠PBC=∠BPH．
又∵AD∥BC，
∴∠APB=∠PBC．
∴∠APB=∠BPH．

（2）△PHD的周長不變?yōu)槎ㄖ?．
證明：如圖2，過B作BQ⊥PH，垂足為Q．
由（1）知∠APB=∠BPH，
在△ABP和△QBP中

∠APB=∠BPH ∠A=∠BQP BP=BP

，
∴△ABP≌△QBP（AAS）．
∴AP=QP，AB=BQ．
又∵AB=BC，
∴BC=BQ．
又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，
∴△BCH≌△BQH．
∴CH=QH．
∴△PHD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．

（3）如圖3，過F作FM⊥AB，垂足為M，則FM=BC=AB．
又∵EF為折痕，
∴EF⊥BP．
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°，
∴∠EFM=∠ABP．
又∵∠A=∠EMF=90°，
∴△EFM≌△PBA（ASA）．
∴EM=AP=x．
∴在Rt△APE中，（4-BE）²+x²=BE²．
解得，BE=2+

x2

8

．
∴CF=BE-EM=2+

x2

8

-x．
又∵折疊的性質(zhì)得出四邊形PEFG與四邊形BEFC全等，
∴S=

1

2

(BE+CF)BC=

1

2

(4+

x2

4

-x)×4．
即：S=

1

2

x2-2x+8．
配方得，S=

1

2

(x-2)2+6，
∴當(dāng)x=2時，S有最小值6．

點(diǎn)評：此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理、二次函數(shù)的最值問題等知識，熟練利用全等三角形的判定得出對應(yīng)相等關(guān)系是解題關(guān)鍵．