Question

（人教版）已知：二次函數(shù)y=x²-（m+1）x+m的圖象交x軸于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點(diǎn)，交y軸正半軸于點(diǎn)C，且x₁²+x₂²=10．
（1）求此二次函數(shù)的解析式；
（2）是否存在過點(diǎn)D（0，-

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2

）的直線與拋物線交于點(diǎn)M、N，與x軸交于點(diǎn)E，使得點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)E對稱？若存在，求直線MN的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）令y=0，即x²-（m+1）x+m=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及x₁²+x₂²=10，可求出m的值，再根據(jù)圖象與y軸正半軸交于點(diǎn)C，可求出函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)題意，設(shè)出一次函數(shù)解析式y(tǒng)=kx-

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，若能求出比例系數(shù)，則可證明此直線存在．

解答：解：（1）因為x₁²+x₂²=10，
所以（x₁+x₂）²-2x₁x₂=10，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，（m+1）²-2m=10，
所以m=3，m=-3，
又因為點(diǎn)C在y軸的正半軸上，
∴m=3，
∴所求拋物線的解析式為：y=x²-4x+3；

（2）過點(diǎn)D（0，-

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）的直線與拋物線交于M（X_M，Y_M）、N（X_N，Y_N）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)E，使得M、N兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)E對稱．
設(shè)直線MN的解析式為：y=kx-

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，
則有：Y_M+Y_N=0，（6分）
由

y=x2-4x+3 y=kx- 5 2

，
x²-4x+3=kx-

5

2

，
移項后合并同類項得x²-（k+4）x+

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=0，
∴x_M+x_N=4+k．
∴y_M+y_N=kx_M-

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2

+kx_N-

5

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=k（x_M+x_N）-5=0，
∴y_M+y_N=k（x_M+x_N）=5，
即k（k+4）-5=0，
∴k=1或k=-5．
當(dāng)k=-5時，方程x²-（k+4）x+

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2

=0的判別式△＜0，直線MN與拋物線無交點(diǎn)，
∴k=1，
∴直線MN的解析式為y=x-

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，
∴此時直線過一、三、四象限，與拋物線有交點(diǎn)；
∴存在過點(diǎn)D（0，-

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）的直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)E．使得M、N兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)E對稱．

點(diǎn)評：此題巧妙利用了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．在（2）中，將直線與拋物線的交點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)的關(guān)系解答，考查了同學(xué)們的整體思維能力．