Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，點P、Q均以相同的速度同時從點A出發(fā)，點P沿AB的方向運動，點Q沿ADC的方向運動，當點P運動到點B時，P、Q同時停止運動，以PQ為一邊向上作正方形PQGH，設AP=x，正方形PQGH和矩形ABCD重合部分的面積為y，回答下列問題：
（1）當點G在CD上時，x=

1

，當點Q和點D重合時，x=

2

；
（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當x為何時時，y取最大值．

Answer 1

分析：（1）當點G在CD上時，證明Rt△DQG≌Rt△AQP，求出AQ，即可得出x的值．當點Q和點D重合時，AP=AQ=AD=2．
（2）分三種情況討論，①0＜x≤1，②1＜x≤2，③當2＜x≤4，分別畫出圖形，得出重合部分的面積表達式，從而可得y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）根據(jù)（2）所畫的圖形或利用二次函數(shù)的最值即可作出判斷．

解答：解：（1）當點G在CD上時，如圖所示：

設AP=x，則AQ=x，
∴∠AQP=∠APQ=45°，
∴∠DQG=∠DGQ=45°，
在Rt△DQG和Rt△AQP中，

∠D=∠A ∠DQG=∠AQP QG=QP

，
∴Rt△DQG≌Rt△AQP，
∴AQ=DQ，
又∵AD=2，
∴AQ=1，
∴AP=1．即x=1；
當點Q和點D重合時，AP=AQ=AD=2，即x=2．
（2）①當0＜x≤1時，AP=AQ=x，QP=

2

x，
此時重合部分的面積為正方形PQGH的面積y=2x²（0＜x≤1）．
②當1＜x≤2時，如圖1所示：
∵Q'G'=P'Q'=

2

x，Q'N=

2

DQ'=

2

（2-x）=2

2

-

2

x，
∴G'N=Q'G'-Q'N=

2

x-（2

2

-

2

x）=2

2

x-2

2

∴重合部分的面積為S_{正方形G'Q'P'H}'-S_△G'MN=（

2

x）²-（2

2

x-2

2

）²=-6x²+16x-8；
③當2＜x≤4時，如圖2所示：
DQ=

2

x-2，AP=x，BP=BE=4-x，
∴S_重合=S_{長方形ABCD}-S_△BPE-S_梯形APQD=8-

1

2

（4-x）²-

1

2

（

2

x-2+x）×2=-

1

2

x²+（3-

2

）x+2；


（3）根據(jù)（2）所畫圖形可得，當點Q與點D重合時，重合部分的面積最大，此時x=2．

點評：本題考查了相似形的綜合，解答本題的關(guān)鍵點在于找到幾個特殊位置，①點G在CD上時，點Q運動到AD的中點，②點Q與點D重合時，點H和點C重合，注意畫出每一階段的圖形，難度較大．