Question

我們學習了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
（1）觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過．事實上，勾是三時，股和弦的算式分別是

1

2

(9-1)，

1

2

(9+1)；勾是五時，股和弦的算式分別是

1

2

(25-1)，

1

2

(25+1)．根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，分別寫出勾是七時，股和弦的算式；
（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，請用含n（n為奇數(shù)，且n≥3）的代數(shù)式來表示所有這些勾股數(shù)的勾、股、弦，合情猜想它們之間的相等關系（請寫出兩種），并對其中一種猜想加以證明；
（3）繼續(xù)觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以發(fā)現(xiàn)各組的第一個數(shù)都是偶數(shù)，且從4起也沒有間斷過．運用類似上述探索的方法，直接用m（m為偶數(shù)，且m＞4）的代數(shù)式來表示股和弦．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)推論即可發(fā)現(xiàn)：股和弦分別是勾的平方減1的一半和勾的平方加1的一半；
（2）把（1）中發(fā)現(xiàn)的關系運用字母表示即可，然后發(fā)現(xiàn)勾、股、弦之間的關系，并驗證；
（3）發(fā)現(xiàn)：股和弦總是相差為2．主要是考慮勾和股之間的關系即是勾的一半的平方再減1．

解答：解：（1）

1

2

(72-1)，

1

2

(72+1)；

（2）當n≥3，且n為奇數(shù)時，勾、股、弦分別為：n，

1

2

(n2-1)，

1

2

(n2+1)
它們之間的關系為：（�。┫�-股=1，（ⅱ）勾²+股²=弦²
如證明（�。�，弦-股=

1

2

(n2+1)-

1

2

(n2-1)=

1

2

n2+

1

2

-

1

2

n2+

1

2

=1；

（3）當m＞4，且m為偶數(shù)時，勾、股、弦分別為：m，(

m

2

)2-1，(

m

2

)2+1，它們的股和弦．

點評：能夠根據(jù)具體數(shù)字發(fā)現(xiàn)規(guī)律，用字母表示推廣到一般．