Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-4,0)、B(6,0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)如圖l，求拋物線的解析式；

(2)如圖2，點(diǎn)P為第一象限拋物線上一點(diǎn)，連接PC、PA，PA交y軸于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△CPF的面積為S．求S與t的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

(3)如圖3，在(2)的條件下，連接BC，過(guò)點(diǎn)P作PD//y軸變BC于點(diǎn)D，點(diǎn)H為AF中點(diǎn)，且點(diǎn)N(0，1)，連接NH、BH，將∠NHB繞點(diǎn)H逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使角的一條邊H落在射線HF上,另一條邊HN變拋物線于點(diǎn)Q，當(dāng)BH=BD時(shí)，求點(diǎn)Q坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為；

（2）S與t的函數(shù)關(guān)系式為；

（3）點(diǎn)Q坐標(biāo)為（4，8）.

【解析】試題分析：（1）直接用代入法求函數(shù)的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)P作PR⊥y軸，交y軸于點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)P作PL⊥AB于點(diǎn)L，則點(diǎn)P(t, )，在Rt△PAL中，因?yàn)?/span>PL=AL= ，所以tan∠PAL=在Rt△FAO中，所以tan∠FAO= , 所以OF=12-2t，所以CF=CO- OF=12-（12-2t）=2t，所以 ；（3）延長(zhǎng)PD交x軸于點(diǎn)L，取OA的中點(diǎn)K，連接HK,過(guò)點(diǎn)H作HG⊥y軸于點(diǎn)G，OF＝12-2t點(diǎn)H為AF的中點(diǎn) HK ⊥OA ，所以HK=6-t=BL，因?yàn)?/span>HK=BL BH=BD ，所以△BHK≌△DBL ，所以BK=DL=8，直線BC的解析式為∴點(diǎn)D，DL=12-2t =8 t=2 ，所以點(diǎn)P（2，12），則點(diǎn)H（-2，4），tan∠AHK=tan∠HBK=，所以∠AHK=∠HBK ，∴∠AHB=90°，又因?yàn)椤?/span>NHB=∠PHQ ，所以∠NHQ=90°，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥HG于點(diǎn)M，所以∠HNG=∠QHM ，又因?yàn)辄c(diǎn)N（0，1），HG=2，所以GN=3，tan∠HNG=tan∠QHM =， ，設(shè)點(diǎn)Q(,) ，則QM=-4= ，所以HM= +2 ，所以 ，解得： ，所以 ∴點(diǎn)Q（4，8）；

試題解析：

（1）解∵拋物線過(guò)點(diǎn)A（-4，0），B（6，0）

解得

∴拋物線解析式為

（2）過(guò)點(diǎn)P作PR⊥y軸，交y軸于點(diǎn)R，過(guò)點(diǎn)P作PL⊥AB于點(diǎn)L，如圖所示：

則點(diǎn)P(t, )，在Rt△PAL中

∵PL=AL=

∴tan∠PAL=

在Rt△FAO中，

∴tan∠FAO= ,

∴OF=12-2t

∴CF=CO- OF=12-（12-2t）=2t

∴

（3）延長(zhǎng)PD交x軸于點(diǎn)L，取OA的中點(diǎn)K，連接HK,過(guò)點(diǎn)H作HG⊥y軸于點(diǎn)G，如圖所示：

OF＝12-2t點(diǎn)H為AF的中點(diǎn) HK ⊥OA

∴HK=6-t=BL

∵HK=BL BH=BD

∴△BHK≌△DBL

∴BK=DL=8

直線BC的解析式為　　

∴點(diǎn)D

DL=12-2t =8 t=2

∴點(diǎn)P（2，12）

∴點(diǎn)H（-2，4）

tan∠AHK=tan∠HBK=

∴∠AHK=∠HBK

∴∠AHB=90°

∵∠NHB=∠PHQ

∴∠NHQ=90°，

過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥HG于點(diǎn)M，

∴∠HNG=∠QHM

∵點(diǎn)N（0，1），HG=2，

∴GN=3，tan∠HNG=tan∠QHM =，

設(shè)點(diǎn)Q(,)

QM=-4=

HM= +2

，

∴點(diǎn)Q（4，8）