Question

Rt△ABC中，AC=BC，P為直線AB上一點，以CP為邊作正方形CPED，連CE．
（1）如圖1，當P為AB的中點，A、E重合時，BP²、AP²、CE²之間的關系是

BP²+AP²=CE²

．
（2）如圖2，當P在AB上運動時，探究BP，AP，CE之間的關系．
（3）如圖3，當P在AB的延長線上時，作出圖形，并指出②中結論是否成立？（不要求證明）

Answer 1

分析：（1）當P為AB的中點時，先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出CP=AP=BP=

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2

AB，再由正方形的性質(zhì)可知∠CPA=90°，根據(jù)勾股定理得到CP²+AP²=CE²，即BP²+AP²=CE²；
（2）當P在AB上運動時，連接DA、DP．先利用SAS證明△BCP≌△ACD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BP=AD，∠B=∠CAD，再證明∠DAP=90°，根據(jù)勾股定理得出AD²+AP²=PD²，進而得出BP，AP，CE之間的關系為BP²+AP²=CE²；
（3）當P在AB的延長線上時，同（2）可得出BP²+AP²=CE²，即②中結論仍然成立．

解答：解：（1）如圖1，當P為AB的中點，A、E重合時，BP²+AP²=CE²．理由如下：
∵Rt△ABC中，P為AB的中點，
∴CP=AP=BP=

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2

AB．
∵四邊形CPED是正方形，
∴∠CPA=90°，
∴CP²+AP²=CE²，
∴BP²+AP²=CE²，
故答案為BP²+AP²=CE²；

（2）如圖2，當P在AB上運動時，BP²+AP²=CE²．理由如下：
連接DA、DP．
∵四邊形CPED是正方形，
∴CP=CD，PD=CE．
在△BCP與△ACD中，

BC=AC ∠BCP=∠ACD=90°-∠ACP CP=CD

，
∴△BCP≌△ACD（SAS），
∴BP=AD，∠B=∠CAD，
∵∠B+∠CAB=90°，
∴∠CAD+∠CAB=90°，即∠DAP=90°，
∴AD²+AP²=PD²，
∵AD=BP，PD=CE，
∴BP²+AP²=CE²；

（3）當P在AB的延長線上時，如圖3，此時②中結論仍然成立．理由如下：
連接DA、DP，設AP與CD交于點O．
∵四邊形CPED是正方形，
∴CP=CD，PD=CE，∠PCD=90°．
在△BCP與△ACD中，

BC=AC ∠BCP=∠ACD=90°-∠BCD CP=CD

，
∴△BCP≌△ACD（SAS），
∴BP=AD，∠BPC=∠ADC，
∵∠BPC+∠COP=90°，
∴∠ADC+∠DOA=90°，
∴∠DAP=90°，
∴AD²+AP²=PD²，
∵AD=BP，PD=CE，
∴BP²+AP²=CE²．

點評：本題考查了正方形、直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，綜合性較強，難度適中．本題三問，由簡單到復雜，層層遞進，體現(xiàn)了數(shù)學中由特殊到一般的規(guī)律．本題通過證明△BCP≌△ACD，得出對應邊、對應角相等是解題的關鍵．