Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將拋物線C₁：y＝x²＋3先向右平移1個(gè)單位，再向下平移7個(gè)單位得到拋物線C₂。C₂的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）。

（1）求拋物線C₂的解析式；

（2）若拋物線C₂的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C，與拋物線C₂交于點(diǎn)D，與拋物線C₁交于點(diǎn)E，連結(jié)AD、DB、BE、EA，請(qǐng)證明四邊形ADBE是菱形，并計(jì)算它的面積；

（3）若點(diǎn)F為對(duì)稱軸DE上任意一點(diǎn)，在拋物線C₂上是否存在這樣的點(diǎn)G，使以O(shè)、B、F、G四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵將拋物線C₁：y＝x²＋3先向右平移1個(gè)單位，再向下平移7個(gè)單位得到拋物線C₂，

∴拋物線C₁的頂點(diǎn)（0，3）向右平移1個(gè)單位，再向下平移7個(gè)單位得到（1，－4）。

∴拋物線C₂的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，－4）。

∴拋物線C₂的解析式為，即。

（2）證明：由解得，

∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，∴A（－1，0），B（3，0），AB=4。

∵拋物線C₂的對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)坐標(biāo)D為（1，－4），∴CD=4。AC=CB=2。

將代入y＝x²＋3得y＝4，∴E（1， 4），CE=DE。

∴四邊形ADBE是平行四邊形。

∵ED⊥AB，∴四邊形ADBE是菱形。

。

（3）存在。分AB為平行四邊形的邊和對(duì)角線兩種情況：

①當(dāng)AB為平行四邊形的一邊時(shí)，如圖，

設(shè)F（1，y），

∵OB=3，∴G₁（－2，y）或G₂（4，y）。

∵點(diǎn)G在上，

∴將x=－2代入，得；將x=4代入，得。

∴G₁（－2，5），G₂（4，5）。

②當(dāng)AB為平行四邊形的一對(duì)角線時(shí)，如圖，

設(shè)F（1，y），OB的中點(diǎn)M，過點(diǎn)G作GH⊥OB于點(diǎn)H，

∵OB=3，OC=1，∴OM=，CM=。

∵△CFM≌△HGM（AAS），∴HM=CM=。∴OH=2。

∴G₃（2，－y）。

∵點(diǎn)G在上，

∴將（2，－y）代入，得，即。

∴G₃（2，－3）。

綜上所述，在拋物線C₂上是否存在這樣的點(diǎn)G，使以O(shè)、B、F、G四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)G的坐標(biāo)為G₁（－2，5），G₂（4，5），G₃（2，－3）。

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)平移的性質(zhì)，寫出平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得出拋物線C₂的解析式。

（2）求出點(diǎn)A、B、D、E的坐標(biāo)，即可根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形的判定得到證明；從而根據(jù)菱形的性質(zhì)求出面積。

（3）分AB為平行四邊形的邊和對(duì)角線兩種情況討論即可。