Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知點A（﹣2，0），B（2，0），C（3，5）．

（1）求過點A，C的直線解析式和過點A，B，C的拋物線的解析式；
（2）求過點A，B及拋物線的頂點D的⊙P的圓心P的坐標；
（3）在拋物線上是否存在點Q，使AQ與⊙P相切，若存在請求出Q點坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（﹣2，0），B（2，0）；

∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x﹣2）（x+2）…①，

把C（3，5）代入①得a=1；

∴二次函數(shù)的解析式為：y=x2﹣4；

設(shè)一次函數(shù)的解析式為：y=kx+b（k≠0）…②

把A（﹣2，0），C（3，5）代入②得 ，

解得 ，

∴一次函數(shù)的解析式為：y=x+2

（2）

解：設(shè)P點的坐標為（0，Py），

由（1）知D點的坐標為（0，﹣4）；

∵A，B，D三點在⊙P上；

∴PB=PD；

∴22+Py2=（﹣4﹣Py）2，

解得：Py=﹣ ；

∴P點的坐標為（0，﹣ ）

（3）

解：在拋物線上存在這樣的點Q使直線AQ與⊙P相切．

理由如下：設(shè)Q點的坐標為（m，m2﹣4）；

根據(jù)平面內(nèi)兩點間的距離公式得：AQ2=（m+2）2+（m2﹣4）2，PQ2=m2+（m2﹣4+ ）2；

∵AP= ，

∴AP2= ；

∵直線AQ是⊙P的切線，

∴AP⊥AQ；

∴PQ2=AP2+AQ2，

即：m2+（m2﹣4+ ）2= +[（m+2）2+（m2﹣4）2]

解得：m1= ，m2=﹣2（與A點重合，舍去）

∴Q點的坐標為（ ， ）．

【解析】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及的知識點還有利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的解析式，一元二次方程，是一道綜合性較強的題目，但難度不大，要熟練掌握解題思路和方法．（1）利用拋物線和x軸的兩個交點坐標，設(shè)出拋物線的解析式y(tǒng)=a（x﹣x1）（x﹣x2），代入即可得出拋物線的解析式，再設(shè)出直線AC的解析式，利用待定系數(shù)法即可得出答案；（2）先求得拋物線的頂點D的坐標，再設(shè)點P坐標（0，Py），根據(jù)A，B，D三點在⊙P上，得PB=PD，列出關(guān)于Py的方程，求解即可得出P點的坐標；（3）假設(shè)拋物線上存在這樣的點Q使直線AQ與⊙P相切，設(shè)Q點的坐標為（m，m2﹣4），根據(jù)平面內(nèi)兩點間的距離公式，即可得出關(guān)于m的方程，求出m的值，即可得出點Q的坐標．
【考點精析】通過靈活運用確定一次函數(shù)的表達式，掌握確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法即可以解答此題．