Question

（2013•泉州）如圖，直線y=-

3

x+2

3

分別與x、y軸交于點(diǎn)B、C，點(diǎn)A（-2，0），P是直線BC上的動(dòng)點(diǎn)．
（1）求∠ABC的大��；
（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)，使∠APO=30°；
（3）在坐標(biāo)平面內(nèi)，平移直線BC，試探索：當(dāng)BC在不同位置時(shí)，使∠APO=30°的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是否保持不變？若不變，指出點(diǎn)P的個(gè)數(shù)有幾個(gè)？若改變，指出點(diǎn)P的個(gè)數(shù)情況，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）求得B、C的坐標(biāo)，在直角△BOC中，利用三角函數(shù)即可求解；
（2）取AC中點(diǎn)Q，以點(diǎn)Q為圓心，2為半徑長(zhǎng)畫圓⊙Q，⊙Q與直線BC的兩個(gè)交點(diǎn)，即為所求；
（3）當(dāng)BC在不同位置時(shí)，點(diǎn)P的個(gè)數(shù)會(huì)發(fā)生改變，使∠APO=30°的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)情況有四種：1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)．如答圖2所示．

解答：解：（1）在y=-

3

x+2

3

中，令x=0，得y=2

3

；
令y=0，得x=2，
∴C（0，2

3

），B（2，0），
∴OC=2

3

，OB=2．
tan∠ABC=

OC

OB

=

2 3

2

=

3

，
∴∠ABC=60°．

（2）如答圖1所示，連接AC．

由（1）知∠ABC=60°，∴BC=2OB=4．
又∵AB=4，∴AB=BC，
∴△ABC為等邊三角形，AB=BC=AC=4．
取AC中點(diǎn)Q，以點(diǎn)Q為圓心，2為半徑長(zhǎng)畫圓，與直線BC交于點(diǎn)P₁，P₂．
∵QP₁=2，QO=2，∴點(diǎn)P₁與點(diǎn)C重合，且⊙Q經(jīng)過(guò)點(diǎn)O．
∴P₁（0，2

3

）．
∵QA=QO，∠CAB=60°，∴△AOQ為等邊三角形．
∴在⊙Q中，AO所對(duì)的圓心角∠OQA=60°，
由圓周角定理可知，AO所對(duì)的圓周角∠APO=30°，故點(diǎn)P₁、P₂符合條件．
∵QC=QP₂，∠ACB=60°，∴△P₂QC為等邊三角形．∴P₂C=QP=2，∴點(diǎn)P₂為BC的中點(diǎn)．
∵B（2，0），C（0，2

3

），∴P₂（1，

3

）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，2

3

），（1，

3

）．

（3）當(dāng)BC在不同位置時(shí)，點(diǎn)P的個(gè)數(shù)會(huì)發(fā)生改變，使∠APO=30°的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)情況有四種：0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)．
如答圖2所示，

以AO為弦，AO所對(duì)的圓心角等于60°的圓共有2個(gè)，記為⊙Q，⊙Q′，點(diǎn)Q，Q′關(guān)于x軸對(duì)稱．
∵直線BC與⊙Q，⊙Q′的公共點(diǎn)P都滿足∠APO=

1

2

∠AQO=

1

2

∠AQ′O=30°，
∴點(diǎn)P的個(gè)數(shù)情況如下：
①有1個(gè)：直線BC與⊙Q（或⊙Q′）相切；
②有2個(gè)：直線BC與⊙Q（或⊙Q′）相交；
③有3個(gè)：直線BC與⊙Q（或⊙Q′）相切，同時(shí)與⊙Q（或⊙Q′）相交；
直線BC過(guò)⊙Q與⊙Q′的一個(gè)交點(diǎn)，同時(shí)與兩圓都相交；
④有4個(gè)：直線BC同時(shí)與兩圓都相交，且不過(guò)兩圓的交點(diǎn)．
⑤有0個(gè)，直線與兩個(gè)圓都相離時(shí)就不存在點(diǎn)P了．

點(diǎn)評(píng)：本題是代數(shù)幾何綜合題，考查了坐標(biāo)平面內(nèi)直線與圓的位置關(guān)系．難點(diǎn)在于第（3）問(wèn)，所涉及的情形較多，容易遺漏．