Question

【題目】如圖，拋物線y＝－[(x－2)2＋n]與x軸交于點(diǎn)A(m－2，0)和B(2m＋3，0)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC.

(1)求m，n的值；

(2)點(diǎn)N為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，且位于直線BC上方，連接CN，BN.求△NBC面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）m＝1，n＝－9；（2）.

【解析】試題分析：（1）由拋物線解析式可得出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2，又由點(diǎn)A和點(diǎn)B是拋物線與x軸的交點(diǎn)，則A和B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，則＝2，便可求得m，得出點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)，將A坐標(biāo)代入拋物線便求得n；

（2）過(guò)點(diǎn)N作ND∥y軸交BC于D.先求得BC解析式，設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)(x，－x2＋x＋3)，便可得點(diǎn)D坐標(biāo)，則得ND的值，由S△NBC＝S△NDC＋S△NDB＝×5×ND得S△NBC關(guān)于x的二次函數(shù)，便可求得最大值.

解：(1)∵拋物線的解析式為y＝－[(x－2)2＋n]＝－(x－2)2－n，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x＝2.∵點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線x＝2對(duì)稱(chēng)，∴＝2，解得m＝1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，0)．把A(－1，0)代入y＝－[(x－2)2＋n]得9＋n＝0，解得n＝－9.

(2)過(guò)點(diǎn)N作ND∥y軸交BC于D.由(1)可得拋物線的解析式為y＝－[(x－2)2－9]＝－x2＋x＋3.當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，把B(5，0)，C(0，3)代入y＝kx＋b得 ，解得 .∴直線BC的解析式為y＝－x＋3.設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x，－x2＋x＋3)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，－x＋3)，∴ND＝－x2＋x＋3－(－x＋3)＝－x2＋3x，∴S△NBC＝S△NDC＋S△NDB＝×5×ND＝(－x2＋3x)＝－x2＋x＝－ ＋，當(dāng)x＝時(shí)，△NBC面積最大，最大值為.