Question

（2012•青神縣一模）如圖，在直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），OB=OC，tan∠ACO=

1

3

．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）經(jīng)過C、D兩點(diǎn)的直線，與x軸交于點(diǎn)E，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F，使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件，易求得C、A的坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）根據(jù)以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)得出AE=CF，AE∥CF即可得出答案．

解答：解：（1）方法一：由已知得：C（0，-3），A（-1，0），
將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

，
所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x²-2x-3；
方法二：由已知得：C（0，-3），A（-1，0），
設(shè)該表達(dá)式為：y=a（x+1）（x-3），
將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：a=1，
所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x²-2x-3；

（2）如圖，在y=x²-2x-3中，令x=0，得y=-3．
令y=0，得x²-2x-3=0，∴x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）．
又y=（x-1）²-4，∴頂點(diǎn)D（1，-4）．
容易求得直線CD的表達(dá)式是y=-x-3．
在y=-x-3中，令y=0，得x=-3．
∴E（-3，0），
∴AE=2．
在y=x²-2x-3中，令y=-3，得x₁=0，x₂=2，
∴CF=2，
∴AE=CF．
∵AE∥CF，
∴四邊形AECF為平行四邊形，此時(shí)F（2，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、平行四邊形的判定、圖形面積的求法等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，能力要求較高．考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．