Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，若∠BAC=∠CAM，過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)垂直于射線(xiàn)AM，垂足為點(diǎn)D．

（1）試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）若直線(xiàn)與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E，⊙O的半徑為3，并且∠CAB=30⁰．求CE的長(zhǎng)．

 

Answer 1

【答案】

（1）直線(xiàn)CD與⊙O相切（2）

【解析】解：（1）直線(xiàn)CD與⊙O相切。理由如下：

連接OC，

∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA。

∵∠BAC=∠CAM，∴∠OCA=∠CAM。

∴OC∥AM。

∵CD⊥AM ，∴OC⊥CD。

∵OC是⊙O的半徑，∴直線(xiàn)CD與⊙O相切。

（2）∵∠CAB=30⁰，∴∠COE=2∠CAB=60⁰。

∴在Rt△COE中，OC=3，CE=OC·tan60⁰=。

（1）要證明過(guò)圓上已知點(diǎn)的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)時(shí)，只需連接圓心和這點(diǎn)，再證過(guò)已知點(diǎn)的半徑垂直于這條直線(xiàn)即可。因此，連接CO，根據(jù)∠OCA=∠CAM，證明DC∥AD，再根據(jù)CD⊥AM，得OC⊥CD，從而證明CD是⊙O的切線(xiàn)。

（2）由題意得∠COE=2∠CAB=60⁰，則在Rt△COE中應(yīng)用正切函數(shù)定義即可求解。.