Question

22、如圖，在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，D為斜邊的中點．在DB上任取一點P，過P作兩腰的垂線段PF、PE．連接EF．求證：EF²=2DF²．

Answer 1

分析：根據(jù)在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，D為斜邊的中點和PF⊥AB，PE⊥AC，求證四邊形AEPF是矩形，再利用等腰三角形的性質(zhì)求證△AED≌△BFD，根據(jù)其對應(yīng)邊成比例再求證△EDF是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可求得結(jié)論．

解答：證明：連接AD、DE，
∵在等腰Rt△ABC中，∠A=90°，D為斜邊的中點，
∴AD=BD=CD，AD⊥BC，∠B=∠C=45°，
∵PF⊥AB，PE⊥AC，
∴四邊形AEPF是矩形，
∴AE=PF，
∴BF=AE，
∵AD是等腰Rt△ABC的中線，
∴AD也是等腰Rt△ABC的角平分線，
∴∠EAD=∠FBD，
∴△AED≌△BFD，
∴∠BDF=∠ADE，DF=DE，
∵∠ADF+∠BDF=90°，
∴∠EDF=∠ADF+∠ADE=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴EF²=DF²+DE²，
∴EF²=2DF²．

點評：此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識點，綜合性較強(qiáng)，解答此題的關(guān)鍵是連接AD、DE，利用全等三角形的判定與性質(zhì)求證△EDF是等腰直角三角形，有一定的拔高難度，屬于難題．