Question

如圖，點(diǎn)E在x軸正半軸上，以點(diǎn)E為圓心，OE為半徑的⊙E與x軸相交于點(diǎn)C，直線AB與⊙E相切于點(diǎn)D，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）．
（1）求線段AD的長(zhǎng)；
（2）連接BE、CD，則BE與CD平行嗎，為什么？
（3）在⊙E上是否存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、O、C為頂點(diǎn)的三角形相似于△BOE？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）求線段AD的長(zhǎng)，連接DE，由切線性質(zhì)知OB=DB=4，AD=AB-BD，需要求出AB，可以根據(jù)勾股定理求出；
（2）連接BE、CD，要證明BE與CD平行可以通過(guò)平行線的判定，根據(jù)切線的性質(zhì)，得出∠ADC=∠ABE即可；
（3）根據(jù)相似三角形的判定結(jié)合其性質(zhì)易求OP的長(zhǎng)，從而確定P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）連接DE，∵A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB=

32+42

=5，
∵以點(diǎn)E為圓心，OE為半徑的⊙E與x軸相交于點(diǎn)C，直線AB與⊙E相切于點(diǎn)D，
∴OB=DB=4，
∴AD=5-4=1；

（2）平行；連接BE、CD、OD，
∵直線AB與⊙E相切于點(diǎn)D，
∴∠ADC=∠AOD，
∵OB⊙E于點(diǎn)O，
∴OB=BD，∠OBE=∠DBE，
∴BE⊥OD，
∴∠OBE+∠BOD=90°，
∵∠BOD+∠COD=90°，
∴∠OBE=∠COD，
∴∠ADC=∠DBE，
∴BE與CD平行；

（3）存在，P₁(

12

5

，

4

5

)，P₂(

12

5

，-

4

5

)，P₃(

4

15

，

4

5

)，P₄(

4

15

，-

4

5

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識(shí)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過(guò)作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問(wèn)題．同時(shí)考查了相似三角形的性質(zhì)和平行線的判斷．