Question

已知：拋物線y＝x²＋bx＋c與x軸交于P，Q兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E，且OE＝OP＝PQ．(1)畫出拋物線的示意圖，并求出拋物線的解析式；(2)問(wèn)線段EQ上是否存在一點(diǎn)M，使△EMP∽△EPQ？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

思路點(diǎn)撥：(1)拋物線開口向上，與x軸的兩交點(diǎn)P、Q位居y軸的同側(cè)，有兩種情況，且P是線段OQ的中點(diǎn)； 　　由線段相等關(guān)系可得方程x2＋bx＋c＝0兩根，再用韋達(dá)定理列出方程組，并解之得拋物線解析式； 　　(2)假設(shè)存在，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，列出等式關(guān)系，求解得結(jié)論． 　　評(píng)注：本題主要考查了拋物線、一元二次方程、直線和相似三角形等知識(shí)，同時(shí)還考查了方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想．而第(2)小題又考查了一個(gè)存在性探索問(wèn)題．因此本題思維層次高、運(yùn)算量大、綜合性強(qiáng)，要求考生具有較高的分析問(wèn)題、探索問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力． 　　一般情況下，解決條件探索題時(shí)，應(yīng)先假設(shè)結(jié)論存在，并在此基礎(chǔ)上，結(jié)合題設(shè)條件進(jìn)行推理、計(jì)算，推出使結(jié)論成立的條件或說(shuō)明不存在使結(jié)論成立的條件．由于此類問(wèn)題的結(jié)構(gòu)都比較復(fù)雜，所以往往需要分類討論． 　　另外，本題中的兩點(diǎn)P、Q會(huì)分居原點(diǎn)的兩側(cè)嗎？事實(shí)上是不可能的．若P、Q兩點(diǎn)分居原點(diǎn)兩側(cè)，則顯然有OP＜PQ，這與題設(shè)OP＝PQ矛盾．故P、Q兩點(diǎn)只能位于原點(diǎn)的同側(cè)．