Question

6．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=2$\sqrt{2}$，點(diǎn)D是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，以AD為直徑的圓交BD于點(diǎn)E，則線段CE長(zhǎng)度的最小值為（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$-2
• B． $\sqrt{5}-2$
• C． $\sqrt{5}-1$
• D． $\sqrt{3}-1$

Answer 1

分析 連結(jié)AE，如圖1，先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=AC=2，再根據(jù)圓周角定理，由AD為直徑得到∠AED=90°，接著由∠AEB=90°得到點(diǎn)E在以AB為直徑的⊙O上，于是當(dāng)點(diǎn)O、E、C共線時(shí)，CE最小，如圖2，在Rt△AOC中利用勾股定理計(jì)算出OC=$\sqrt{5}$，從而得到CE的最小值為$\sqrt{5}$-1．

解答 解：連結(jié)AE，如圖1，

∵∠BAC=90°，AB=AC，BC=2$\sqrt{2}$，
∴AB=AC=2，
∵AD為直徑，
∴∠AED=90°，
∴∠AEB=90°，
∴點(diǎn)E在以AB為直徑的⊙O上，
∵⊙O的半徑為1，
連接OE，OC，
∴OE=$\frac{1}{2}$AB=1
在Rt△AOC中，
∵OA=2，AC=4，
∴OC=$\sqrt{O{A}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由于OC=$\sqrt{5}$，OE=1是定值，
點(diǎn)E在線段OC上時(shí)，CE最小，如圖2，

∴CE=OC-OE=$\sqrt{5}$-1，
即線段CE長(zhǎng)度的最小值為$\sqrt{5}$-1．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理和等腰直角三角形的性質(zhì)；會(huì)利用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)．解決本題的關(guān)鍵是確定E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最短距離問(wèn)題．