Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為2的正方形，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，B，與x軸分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0），以O(shè)C為直徑作半圓，圓心為D．

（1）求二次函數(shù)的解析式；

（2）求證：直線BE是⊙D的切線；

（3）若直線BE與拋物線的對(duì)稱軸交點(diǎn)為P，M是線段CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M與點(diǎn)B，C不重合），過點(diǎn)M作MN∥BE交x軸與點(diǎn)N，連結(jié)PM，PN，設(shè)CM的長(zhǎng)為t，△PMN的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．S是否存在著最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）∵四邊形OABC是邊長(zhǎng)為2的正方形，∴A（0，2），B（2，2）。

又∵E的坐標(biāo)為（，0），

∴，解得，。

∴該二次函數(shù)的解析式為：。

（2）如圖，過點(diǎn)D作DG⊥BE于點(diǎn)G，

由題意，得，

∴。

∵∠BEC=∠DEG，∠EGD=∠ECB=90°，

∴△EGD∽△ECB。

∴，即�！郉G=1。

∵⊙D的半徑是1，且DG⊥BE，∴BE是⊙D的切線。

（3）由題意，得E（，0），B（2，2）．

設(shè)直線BE為y=kx+h，則

，解得，。

∴直線BE為：。

∵直線BE與拋物線的對(duì)稱軸交點(diǎn)為P，對(duì)稱軸直線為x=1，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，即P（1，）。

∵M(jìn)N∥BE，∴∠MNC=∠BEC。

∵∠C=∠C=90°，∴△MNC∽△BEC。∴，即�！�。

∴。

∴，，

。

∵（0＜t＜2）。

∵拋物線（0＜t＜2）的開口方向向下，

∴S存在最大值，當(dāng)t=1時(shí)，S_最大=。

【解析】（1）根據(jù)題意易得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后把點(diǎn)A、B、E的坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)解析式，列出關(guān)于a、b、c的方程組，利用三元一次方程組來求得系數(shù)的值。

（2）如圖，過點(diǎn)D作DG⊥BE于點(diǎn)G，構(gòu)建相似三角形△EGD∽△ECB，根據(jù)它的對(duì)應(yīng)邊成比例得到，由此求得DG=1（圓的半徑是1），則易證得結(jié)論。

（3）利用待定系數(shù)法求得直線BE為：，則易求P（1，）．然后由相似三角形△MNC∽△BEC的對(duì)應(yīng)邊成比例，線段間的和差關(guān)系得到，．所以由即可求得（0＜t＜2），由拋物線的性質(zhì)可以求得S的最值。