Question

如圖，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，⊙D與BC、AC、AB都相切，切點(diǎn)分別是E、F、G，BA、ED的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)H，a、b是關(guān)于x的方程x²-（c+4）x+4c+8=0的兩個(gè)根．
（1）求證：△ABC是直角三角形；
（2）若25asin∠BAC=9c，求四邊形CEDF的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到a+b=c+4，ab=4c+8，把第一等式兩邊平方后把第二個(gè)等式代入得到a²+b²=c²，根據(jù)勾股定理的逆定理即可得到結(jié)論；
（2）由25asin∠BAC=9c，即sin∠BAC=

9c

25a

，再根據(jù)三角函數(shù)定義得sin∠BAC=

a

c

，則3c=5a，設(shè)c=5x，則a=3x，b=4x，代入a+b=c+4求出x=2，則得到a=6，b=8，c=10；
根據(jù)切線的性質(zhì)得到DE=DF=DG，DE⊥BC，DG⊥AB，得到四邊形DECF為正方形，設(shè)DE=DF=DG=R，利用S_△ABC+S_梯形DECA=S_△BED+S_△DAB，得到關(guān)于R的方程，解方程求出R，即可得到四邊形CEDF的面積．

解答：（1）證明：∵a、b是關(guān)于x的方程x²-（c+4）x+4c+8=0的兩個(gè)根，
∴a+b=c+4，ab=4c+8，
∴（a+b）²=（c+4）²，即a²+2ab+b²=c²+8c+16，
∴a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：連DB，如圖
∵25asin∠BAC=9c，即sin∠BAC=

9c

25a

，
在Rt△ABC中，sin∠BAC=

a

c

，
∴

a

c

=

9c

25a

，
∴25a²=9c²，
∴3c=5a，
設(shè)c=5x，則a=3x，b=4x，
∴5x+4x=3x+4x+4，解得x=2，
∴a=6，b=8，c=10，
∵⊙D與BC、AC、AB都相切，切點(diǎn)分別是E、F、G，
∴DE=DF=DG，DE⊥BC，DG⊥AB，
∴四邊形DECF為正方形，
設(shè)DE=DF=DG=R，
∵S_△ABC+S_梯形DECA=S_△BED+S_△DAB，
∴

1

2

×6×8+

1

2

×（R+8）×R=

1

2

×（6+R）×R+

1

2

×10×R，解得R=6，
∴四邊形CEDF的面積=R²=36．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了勾股定理的逆定理、三角函數(shù)的定義以及一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系：如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁、x₂，則x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．