Question

若一次函數(shù)y=2x-1和反比例函數(shù)y=

k

2x

的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（1，1）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）已知點(diǎn)A在第三象限，且同時(shí)在兩個(gè)函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)x為何值時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值？當(dāng)x為何值時(shí)，一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值？
（4）利用（2）的結(jié)果，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），且以點(diǎn)A、O、B、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)（1，1）的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=

k

2x

中可得k的值，進(jìn)而可得反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)題意，可得方程組

y=2x-1 y= 1 x

，解可得x與y的值，又有A在第三象限，可得答案；
（3）由（2）中求出的兩函數(shù)的交點(diǎn)，根據(jù)兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)及0把x軸分為四個(gè)區(qū)間，從圖象上找出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上邊的兩個(gè)區(qū)間即為一次函數(shù)的值大于反比例的函數(shù)值時(shí)，x的取值范圍；剩下的兩個(gè)區(qū)間即為一次函數(shù)的值小于反比例的函數(shù)值時(shí)，x的取值范圍；
（4）根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，利用（2）求出定的兩函數(shù)的交點(diǎn)A與C的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，分別求出三種情況各自滿足題意得P點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答：解：（1）∵反比例函數(shù)y=

k

2x

的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，1），
∴1=

k

2

，解得k=2，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

1

x

；

（2）解方程組

y=2x-1 y= 1 x

得

x=1 y=1

，

x=- 1 2 y=-2

，
∵點(diǎn)A在第三象限，且同時(shí)在兩個(gè)函數(shù)圖象上，
∴A（ -

1

2

，-2）；

（3）根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，畫出圖形，如圖所示：
根據(jù)直線與反比例的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（-

1

2

，-2），C（1，1），
則當(dāng)-

1

2

＜x＜0或x＞1時(shí)，一次函數(shù)的值大于反比例的函數(shù)值；
當(dāng)x＜-

1

2

或0＜x＜1時(shí)，一次函數(shù)的值小于反比例的函數(shù)值；

（4）根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：
根據(jù)圖形及平行四邊形的性質(zhì)分別得到：
P₁（

3

2

，-2），P₂（ -

5

2

，-2），P₃（

5

2

，2）．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了反比例函數(shù)，正比例函數(shù)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，注意對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用，注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．