Question

如圖，拋物線y=

1

4

x2-4交x軸于點(diǎn)Q、M，交y軸于點(diǎn)P，點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為N．
（1）求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，并判斷四邊形NMPQ的形狀；
（2）如圖，坐標(biāo)系中有一正方形ABCD，其中AB=2cm且CD⊥x軸，CD的中點(diǎn)E與Q點(diǎn)重合，正方形ABCD以1cm/s的速度沿射線QM運(yùn)動(dòng)，當(dāng)正方形ABCD完全進(jìn)入四邊形QPMN時(shí)立即停止運(yùn)動(dòng)．
①當(dāng)正方形ABCD與四邊形NMPQ的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2時(shí)，求兩四邊形重疊部分的面積y與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍；
②求運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，重疊部分的面積為正方形ABCD面積的一半．

Answer 1

分析：（1）令拋物線y=

1

4

x2-4=0，可求出Q，M的橫坐標(biāo)，令x=0，則可求出拋物線和縱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)的規(guī)律可求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可判定四邊形NMPQ的形狀；
（2）①當(dāng)正方形ABCD與四邊形NMPQ的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2時(shí)，兩四邊形重疊部分的面積y與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式隨時(shí)間的變化而變化，所以要分類討論；
②當(dāng)重疊部分的面積為正方形ABCD面積的一半時(shí)，由①中的函數(shù)關(guān)系式可求出此時(shí)的時(shí)間t．

解答：解：（1）令y=

1

4

x2-4=0，
解得：x₁=4，x₂=-4，
∴Q（-4，0），M（4，0），
令x=0，解得y=-4，
∴P（0，-4），
∴點(diǎn)P關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)N的坐標(biāo)是（0，4），
∴OM=ON=OQ=OP，
又∵NP⊥QM，
∴四邊形NMPQ的形狀是正方形．

（2）①當(dāng)0＜t≤1時(shí)，y=t ²；
當(dāng)1≤t＜2時(shí)，y=2t-1；
當(dāng)2≤t≤3時(shí)，y=4-（3-t）²．
∴y=

t2(0＜t≤1) 2t-1(1≤t＜2) 4-(3-t)2(2≤t≤3)

，
②當(dāng)重疊部分的面積為正方形ABCD面積的一半即S=2時(shí)，
即y=2t-1=2，
∴t=

3

2

，
當(dāng)2=t²，
t=

2

（不合題意舍去，∵0＜t≤1），

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)與幾何知識(shí)（正方形）的綜合應(yīng)用，將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起．這類試題一般難度較大．解這類問題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．