【題目】數(shù)學(xué)活動課上,某學(xué)習小組對有一內(nèi)角為120°的平行四邊形ABCD(∠BAD120°)進行探究:將一塊含60°的直角三角板如圖放置在平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),且60°角的頂點始終與點C重合,較短的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段ABAD于點E,F(不包括線段的端點).

1)初步嘗試

如圖1,若ADAB,試猜想線段AE、AF、AC之間的數(shù)量關(guān)系;

2)類比發(fā)現(xiàn)

如圖2,若AD2AB,過點CCHAD于點H,求的值;

3)深入探究

如圖3,若AD4AB,探究得:的值為常數(shù)t,則t   

【答案】(1)AE+AFAC;(2);(3).

【解析】

1)先證明△ABC△ACD都是等邊三角形,再證明∠BCE=∠ACF,從而可證得△BCE≌△ACF,進而證得BEAF,由此即可解決問題.
2)設(shè)DHx,由題意,CD2x,CH,由△ACE∽△HCF,得 ,由此即可得出答案.
3)作CNADN,CMBAM,CMAD交于點H.先證明△CFN∽△CEM,得 ,由ABCMADCN,AD4AB,推出CM4CN,所以,設(shè)CNa,FNb,則CM4a,EM4b,想辦法求出ACAE4AF即可解決問題.

解:(1AE+AFAC; 理由如下:

四邊形ABCD是平行四邊形,∠BAD120°

∴∠D∠B60°,

四邊形ABCD是菱形,

∴ADAB,

∴△ABC△ACD都是等邊三角形,

∴∠B∠CAD60°∠ACB60°,BCAC

∵∠ECF60°,

∴∠BCE+∠ACE∠ACF+∠ACE60°

∴∠BCE∠ACF,

△BCE△ACF中,

∴△BCE≌△ACFASA).

∴BEAF,

∴AE+AFAE+BEABAC

故答案為:AE+AFAC;

2)設(shè)DHx,由由題意,CD2x,CH

∴AD2AB4x,

∴AHADDH3x,

∵CH⊥AD,

∴AC

∴AC2+CD2AD2,

∴∠ACD90°

∴∠BAC∠ACD90°,

∴∠CAD30°,

∴∠ACH60°,

∵∠ECF60°,

∴∠HCF∠ACE,

∴△ACE∽△HCF,

,

3,

理由如下:

如圖,作CN⊥ADN,CM⊥BAMCMAD交于點H

∵∠ECF+∠EAF180°,

∴∠AEC+∠AFC180°,

∵∠AFC+∠CFN180°,

∴∠CFN∠AEC,∵∠M∠CNF90°

∴△CFN∽△CEM,

,

∵ABCMADCNAD4AB,

∴CM4CN

,

設(shè)CNa,FNb,則CM4a,EM4b,

∵∠MAH60°,∠M90°,

∴∠AHM∠CHN30°,

∴HC2a,HM2aHNa,

∴AMAH,

∴AC ,

AE+4AF=(EMAM+4AH+HNFN)=EMAM+4AH+4HN4FN4AH+4HNAM

∴t

故答案為:

練習冊系列答案
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2)若關(guān)于的一元二次方程是“倍根方程”,則,之間的關(guān)系為   

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(1)求∠OCD的度數(shù);

(2)當m=3,1<x<3時,存在點M使得OPM∽△OCP,求此時點M的坐標;

(3)當m=5時,矩形OAMBOPQ的重疊部分的面積能否等于4.1?請說明你的理由.

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