Question

已知拋物線y=-x²+2kx-k²+k+1（k是常數(shù)）
（1）通過配方，寫出拋物線的對稱軸和頂點坐標；
（2）求證：不論k取任何實數(shù)，拋物線的頂點都在某一次函數(shù)的圖象上．并指出此一次函數(shù)的解析式；
（3）設此拋物線與y軸的交點為A（0，1），其頂點為B．試問：在x軸上是否存在一點P，使△ABP的周長最��？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請簡述理由．

Answer 1

分析：（1）把函數(shù)關系式化為頂點式y(tǒng)=-x²+2kx=k²+k+1=-（x-k）²+k+1，可得拋物線的頂點坐標是（k，k+1），對稱軸是x=k．
（2）因把拋物線的頂點（k，k+1），寫成方程組

x=k y=k+1

，消去k得，y=x+1，由此可見函數(shù)y=x+1是所求函數(shù)的解析式．
（3）把點A（0，1），代入二次函數(shù)可知，1=-k²+k+1，解得k=0或k=1，分別把k值代入題中確定，當k=1時，k+1=2，他的頂點為B（1，2），取AP+PB最小，點P為所求的點．設直線A′B的解析式為y=ax+b，把點A′（0，-1），B（1，2），代入解析式可得

-1=b 2=a+b

，解得y=3x-1，因為點P在x軸上，所以當y=0時，x=

1

3

，所以當點p的坐標為（

1

3

，0）時，△ABP的周長最�。�

解答：解：（1）因為y=-x²+2kx-k²+k+1=-（x-k）²+k+1，
所以拋物線的頂點坐標是（k，k+1），對稱軸是x=k．

（2）因為拋物線的頂點為（k，k+1），
所以

x=k y=k+1

，
消去k得，y=x+1
由此可見，不論k取任何實數(shù)，拋物線的頂點（k，k+1）都滿足函數(shù)y=x+1，
即在一次函數(shù)y=x+1的圖象上．
所以函數(shù)y=x+1是所求函數(shù)的解析式．

（3）符合條件的點P存在．
因為點A（0，1）_在拋物線上，
所以，1=-k²+k+1，
解得k=0或k=1，
①當k=0時，k+1=1，所以它的頂點是B（0，1）與點A重合，不合題意，舍去．所以k≠0
②當k=1時，k+1=2，他的頂點為B（1，2），
因為點A、B已經(jīng)確定，所以AB的長度為定值，
所以要使△ABP的周長最小，只須AP+PB的和最�。�
此時，取AP+PB最小，所以點P為所求的點，
設直線A′B的解析式為y=ax+b，它過點A′（0，-1），B（1，2），
所以

-1=b 2=a+b

，
解得

a=3 b=-1

，
所以y=3x-1，
因為點P在x軸上，所以當y=0時，x=

1

3

，
所以當點p的坐標為（

1

3

，0）時，△ABP的周長最�。�

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及的知識點有拋物線的頂點公式和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法以及線段和的最小值問題．注意分析題意分情況討論結果．