如圖,直角梯形OABC的直角頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),邊OA,OC分別在X軸,y軸的正半軸上.OA∥BC,D是BC上一點(diǎn),BD=
1
4
OA=
2
,AB=3,∠OAB=45°,E,F(xiàn)分別是線段OA,AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且始終保持∠DEF=45°,如果△AEF是等腰三角形時(shí).將△AEF沿EF對(duì)折得△A′EF與五邊形OEFBC重疊部分的面積為
17
8
或1或
41
2
-48
4
17
8
或1或
41
2
-48
4
分析:若△AEF是等腰三角形,應(yīng)分三種情況討論:
①AF=EF,此時(shí)△AEF是等腰Rt△,A′在AB的延長(zhǎng)線上,重合部分是四邊形EDBF,其面積可由梯形ABDE與△AEF的面積差求得;
②AE=EF,此時(shí)△AEF是等腰Rt△,且E是直角頂點(diǎn),此時(shí)重合部分即為△A′EF,由于∠DEF=∠EFA=45°,得DE∥AB,即四邊形AEDB是平行四邊形,則AE=BD,進(jìn)而可求得重合部分的面積;
③AF=AE,此時(shí)四邊形AEA′F是菱形,重合部分是△A′EF;由△ODE∽△AEF,那么此時(shí)OD=OE=3,由此可求得AE、AF的長(zhǎng),過(guò)F作x軸的垂線,即可求出△AEF中AE邊上的高,進(jìn)而可求得△AEF(即△A′EF)的面積.
解答:解:當(dāng)△AEF為等腰三角形時(shí),存在EF=AF或EF=AE或AF=AE共3種情況;
①當(dāng)EF=AF時(shí),如圖(1),

∠FAE=∠FEA=∠DEF=45°;
∴△AEF為等腰直角三角形,D在A′E上(A′E⊥OA),
B在A′F上(A′F⊥EF),
∴△A′EF與五邊形OEFBC重疊的面積為四邊形EFBD的面積;
∵AE=OA-OE=OA-CD=4
2
-
3
2
2
=
5
2
2

∴AF=AE•sin45°=
5
2
2
×
2
2
=
5
2
,
S△AEF=
1
2
EF×AF=
1
2
×(
5
2
2=
25
8

∴S梯形AEDB=
1
2
(BD+AE)•DE=
1
2
×(
2
+
5
2
2
)×
3
2
2
=
21
4
,
∴S四邊形BDEF=S梯形AEDB-S△AEF=
21
4
-
25
8
=
17
8
;
(也可用S陰影=S△A'EF-S△A'BD),
②當(dāng)EF=AE時(shí),如圖(2),

此時(shí)△A′EF與五邊形OEFBC重疊部分面積為△A′EF面積.
∠DEF=∠EFA=45°,DE∥AB,又DB∥EA,
∴四邊形DEAB是平行四邊形
∴AE=DB=
2
,
∴S△A′EF=S△AEF=
1
2
×(
2
2=1;
③當(dāng)AF=AE時(shí),如圖(3),

四邊形AEA′F為菱形且△A′EF在五邊形OEFBC內(nèi).
∴此時(shí)△A′EF與五邊形OEFBC重疊部分面積為△A′EF面積.
易得△ODE∽△AEF,則OD=OE=3,
∴AE=AF=OA-OE=4
2
-3,
過(guò)F作FH⊥AE于H,則FH=AF•sin45°=(4
2
-3)×
2
2
=4-
3
2
2
,
∴S△A′EF=S△AEF=
1
2
AE•FH=
1
2
×(4
2
-3)•(4-
3
2
2
)=
41
2
-48
4
,
綜上所述,△A′EF與五邊形OEFBC重疊部分的面積為
17
8
或1或
41
2
-48
4

故答案為:
17
8
或1或
41
2
-48
4
點(diǎn)評(píng):此題考查了四邊形綜合題,涉及了梯形、平行四邊形、等腰三角形的性質(zhì),以及相似三角形的判定和性質(zhì),難度較大,注意分類討論思想的運(yùn)用.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,直角梯形OABC的直角頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),邊OA,OC分別在x軸、y軸的正半軸上,OA∥BC,D是BC上一點(diǎn),BD=
1
4
OA=
2
,AB=3,∠OAB=45°,E、F分別是線段OA、AB上的兩動(dòng)點(diǎn),且始終保持∠DEF=45°.
精英家教網(wǎng)
(1)直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)設(shè)OE=x,AF=y,試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系;
(3)將△AEF沿一條邊翻折,翻折前后兩個(gè)三角形組成的四邊形能否成為菱形?若能,請(qǐng)直接寫出符合條件的x值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,直角梯形OABF中,∠OAB=∠B=90°,A點(diǎn)在x軸上,雙曲線y=
k
x
過(guò)點(diǎn)F,與AB交于E點(diǎn),連EF,若
BF
OA
=
2
3
,S△BEF=4,則k=
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,直角梯形OABC中,∠OAB=∠B=90°,A點(diǎn)在x軸上,雙曲線y=
kx
過(guò)點(diǎn)C和AB中點(diǎn)D,若S梯形OABC=6,則該雙曲線的解析式為
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,直角梯形OABC的直角頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),邊OA,OC分別在x軸、y軸的正半軸上,OA∥BC,D精英家教網(wǎng)是BC上一點(diǎn),BD=
1
4
OA=
2
,AB=3,∠OAB=45°,E、F分別是線段OA、AB上的兩動(dòng)點(diǎn),且始終保持∠DEF=45°.
(1)直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)設(shè)OE=x,AF=y,試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系;
(3)當(dāng)△AEF是等腰三角形時(shí),將△AEF沿EF折疊,得到△A'EF,求△A'EF與五邊形OEFBC重疊部分的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖.直角梯形OABC的直角頂點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),邊OA,OC分別在x軸、y軸的正半軸上.OA∥BC,OA=4
2
,OC=
3
2
2

∠OAB=45°,D是BC上一點(diǎn),CD=
3
2
2
.E、F分別是線段OA、AB上的兩動(dòng)點(diǎn),且始終保持∠DEF=45°,設(shè)OE=x,AF=y.
(1)AB=
 
,BC=
 
,∠DOE=
 

(2)證明△ODE∽△AEF,并確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系;
(3)當(dāng)AF=EF時(shí),將△AEF沿EF折疊,得到△A′EF,求△A′EF與五邊形OEFBC重疊部分的面積.
精英家教網(wǎng)

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